燃料消耗下吸气式高超声速飞行器自适应控制

高刚，张金鹏，李群生

中国空空导弹研究院，河南洛阳471009

高超声速飞行器因其能够快速全球可达，具有巨大的军事价值和潜在的经济价值，近年来成为各国发展的重点，如中国的WU-14及美国的HTV-2。相对于普通飞行器，高超声速飞行器具有巨大的速度优势，更强的载荷携带能力，以及可能重复使用的特性。另一方面，就军事目的而言，高超声速飞行器优越的机动性大大增加了其拦截难度。

在采用轻质材料的情况下，高超声速飞行器在快速飞行过程中由于气流扰动等因素，可能发生气动弹性振动。考虑冲压发动机与机体的融合构型和高超声速飞行器弹性机体，推进系统及气动力学之间存在强耦合作用。与此同时，高超声速飞行器具有高马赫数飞行特性，参数快时变特征。上述特点使得高超声速飞行器控制具有巨大的挑战性[1,2]。

高超声速飞行器控制研究集中于具有X-33或X-38构型无动力高超声速飞行器(NHV)的再入控制[3,4]，及具有锥体加速器或X-30 构型吸气式高超声速飞行器(AHV)的巡航控制[5,6]。

吸气式高超声速飞行器方面，现有参考文献涉及三个主要的飞行器模型。其一是美国航空航天局（NASA）兰利研究中心提出的刚性NASA-LRC模型，主要考察一个具有锥体加速器构型高超飞行器的纵向动态[5,7]。利用计算流体力学，第二个包含弹性模态的CSULA-GHV是由加州州立大学多学科飞行动态及控制实验室提出，它描述了一个全尺寸X-30 构型高超声速飞行器的纵向动态[8,9]。利用Lagrange 方程，对于一个X-30 构型飞行器的纵向动态，美国空军研究实验室推导了第三个具有弹性模态的AFRLOSU模型[6,10]。

本文研究基于AFRL-OSU模型，其中部分动力学描述是系统状态及控制输入的隐函数，不具有通常控制器设计所要求的相对规范的形式。利用曲线拟合方法，几位作者给出了AFRL-OSU模型的曲线拟合形式[6,11-13]，大大降低了控制分析的难度，同时保留了原模型的基本动态特征[6]。采用AFRL-OSU 模型，参考文献[11]、参考文献[14]、参考文献[15]中假设弹性模态可以直接测量，将其用于控制反馈。参考文献[16]利用线性参数时变的建模及控制方法研究AFRL-OSU 模型，参考文献[17]提出高超声速飞行器保性能控制，参考文献[18]利用T-S模糊控制方法设计保性能控制器。基于有限的状态信息，参考文献[19]提出输出反馈控制器。基于反馈线性化系统，参考文献[20]讨论了高超声速飞行器的鲁棒最优控制问题。

对比无动力高超声速飞行器，吸气式高超声速飞行器在飞行过程中必然产生燃料消耗，引起飞行器质量及转动惯量变化[13]。在此前提下，针对吸气式高超声速飞行器控制问题，现有研究并不充分。针对此问题，考虑燃料消耗引起的飞行器质量及转动惯量变化，本文研究吸气式高超声速飞行器的自适应控制问题，在控制律设计过程中注意避免执行器震颤现象。

1 模型分析

1.1 高超声速飞行器纵向动态

考虑一个X-30 构型的飞行器，本节中的分析基于AFRL-OSU模型。对此高超声速飞行器模型，其不稳定性及控制难点主要体现在纵向运动平面。在无滚转的情况下解耦于横向动态，飞行器的纵向动态可描述为：

模型中的气动力和力矩具有形式：

以上模型中，包含5个刚性状态变量，即高度h、速度V、迎角α、俯仰角θ及俯仰角速率Q。同时，模型包含4个弹性状态变量以上模型中，输出高度h主要由升降舵偏转δe调节，而输出速度V主要受油门开度Φ的影响。可以看到，系统中各变量间存在复杂的耦合，如由于系统发动机与气动外形的相互作用，除推力外，油门开度Φ间接影响俯仰力矩。另外，对升降舵偏转δe，其在调节俯仰力矩的同时，通过相对较弱的耦合间接影响升力、阻力及广义弹性力。此外由式(1)，刚性状态变量俯仰角速率的动态受弹性模态的影响，同时广义弹性力依赖于迎角，由此系统弹性模态及刚性动态间存在耦合。

1.2 面向控制的模型设计

对式（1），升降舵与升力及阻力间存在耦合，由此控制输入δe会出现在输出h,V的低阶导数中。由于耦合相对较弱，可以考虑在控制器设计过程中将其忽略。与此同时，为避免输入解耦矩阵奇异，考虑油门开度Φ命令实现过程的一个二阶动态扩展，将弹性模态忽略，可得：

此时，考虑控制输入升降舵偏转δe及油门开度命令Φc，利用Matlab符号计算，对输出高度h及速度V求高阶导数，可以验证式(2)具有满相对度。在此模型中，其状态变量取为高度h、速度V、迎角α、俯仰角θ、俯仰角速率Q、油门开度Φ及选取阻尼系数ζ=0.7，固有频率ω=20，式(2)中最后一个方程描述真实飞行器中油门开度Φ命令实现过程中的一个滞后效应，具有现实意义。

对式(1)或式(2)，其运行区间见表1。

表1 飞行器运行区间Table 1 The flight envelope of the vehicle

可以验证，对表1给定的运行区间，考虑控制输入升降舵偏转δe及油门开度命令Φc，对输出高度h及速度V求高阶导数，式(2)具有非奇异的输入解耦矩阵。

在本文中，式(2)主要用于控制器设计及飞行器稳定性分析。对所设计控制器仿真验证采用式(1)，其中包含式(2)中忽略的弱耦合及弹性模态。

2 模型不确定性分析

2.1 模型不确定性

在真实的高超声速飞行过程中，由于冲压发动机的燃料消耗，飞行器质量及转动惯量均会产生显著的变化[13]，其可表示为：

式中：m0,I0分别为m,I的标称值；|Δm|≤50%，|ΔI|≤50%表示相应变量的加性不确定性，其可记为：

2.2 飞行器的反馈线性化模型

在本节，使用反馈线性化技术，得到一个高超声速飞行器的线性化模型，其中包含由不确定参数导致的未知动态。考虑高超声速飞行器纵向式(2)，为消除稳态误差，在系统中增加积分变量：

则式(2)写为：

式中：

非线性函数：

对于式(4)，可以验证：

由此，高度积分h*具相对阶rh=5，速度积分V*具相对阶rV=5，此时式(2)具有满相对阶及零内动态。能线性化非线性式(2)的坐标变换x=T(z)可表示为：

可以验证，标称条件下的输入解耦矩阵G(z)在实际飞行包线内具有非奇异性。

2.3 模型不确定性分析

考虑由式(3)描述的不确定参数，在以上推导中，G1由Matlab符号计算得到，其具有表达式：

这里λi(·)表示括号内矩阵的第i个特征值。

3 控制器设计

吸气式高超声速飞行器在飞行过程中的燃料消耗，会引起飞行器的飞行参数变化。针对这种变化，相比于建立精确的燃料消耗模型，本节将此参数变化视为一种不确定因素，基于其对飞行器反馈线性化模型的影响分析，针对高超声速飞行器的不确定模型设计自适应控制器，同时在控制律设计过程中注意避免执行器震颤现象。

3.1 控制器设计

那么对式(5)，其可写为：

系统中状态，输入及输出矩阵具有下面的结构：

这里子矩阵具有Brunovsky规范形式：

式(9)中的不确定项满足：

对于式(9)，它需要跟踪的参考命令可描述为：

式中：ym1是5阶可微的，ym2是4阶可微的，令：

这里假设xm∈L∞,rm∈L∞，L∞表示全部有界函数构成的空间。对于以上参考命令，可写为参考模型：

这里状态、输入及输出矩阵由式(10)给出，其中状态及输入矩阵(A,B)是可控的，因此存在一个镇定的矩阵K0及正定矩阵P,Q满足：

这里H表示全部Hurwitz 矩阵的集合。考虑反馈线性化式(9)，其控制输入被不确定项影响，将鲁棒控制器设计为：

式中：rm由式(13)给出，跟踪误差e=x-xm，K0见式(15)；K(t)被设计来保证不确定参数下非线性系统(9)的参考命令跟踪，如：

此时，跟踪误差e=x-xm满足由此ym(t))=0。

式中：γ及σ表示某些正常数，函数φ1(z),φ2(z)及参数a1见式(11)及式(12)，信号rm由式(13)定义。

对于具有满相对阶及可逆输入解耦矩阵（式(6)）的非线性系统（式(4)），考虑不确定参数（式(3)），如果矩阵K0、正定矩阵P,Q设计为满足条件式(15)，那么控制律式(8)、式(16)与式(18)保证跟踪误差e=x-xm全局一致最终有界。

3.2 稳定性分析

对非线性系式(4)，应用鲁棒控制律式(8)、式(16)与式(18)，由反馈线性化模型式(9)减去式(14)，得到误差动态系统：

考虑Lyapunov函数：

令：

可给出Lyapunov 函数的导数：

注意到自适应律式(19)及aw(t0)≥0，由其通解：

可得aw(t)≥0,t≥t0。考虑式(7)，可得：

接下来，由不等式：

给出：

由此可得：

令λmin(·),λmax(·)表示括号内矩阵的最小及最大特征值，式（20）中常数λV,λε具有以下形式：

当时间趋于无穷，式(20)给出：

这就表明对任意δ＞0，存在T＞0，由此对任意t＞T，有此时接下来，令：

同时注意到对t＞T，有：

跟踪误差e在有限时间内收敛到剩余集Ωe，这表明跟踪误差e=x-xm全局一致最终有界。

4 仿真

选取参考文献[6]给出的高度参考命令及速度参考命令，验证所设计控制器的有效性及鲁棒性。在满足约束式(3)，其中|Δm|≤50%，|ΔI|≤50%的前提下，执行以下25 轮Monte Carlo 仿真，每次仿真中不确定参数m,I随机取值。叠加25轮仿真结果，高超声速飞行器的高度及速度跟踪性能如图1（1ft=0.3048m）～图3所示。

图1 飞行器高度跟踪性能Fig.1 The altitude tracking performance

在所执行的25轮Monte Carlo仿真中，在不确定参数质量及转动惯量影响下，所设计自适应控制器实现了期望的高度及速度指令跟踪效果，表明所设计控制器的有效性及鲁棒性。

5 结论

图2 飞行器速度跟踪性能Fig.2 The velocity tracking performance

图3 飞行器控制输入Fig.3 Control inputs of the vehicle

对高超声速飞行器，考虑其纵向动态模型，在复杂耦合，不确定参数的影响下，本文考虑其参考命令跟踪控制问题。为降低问题复杂性，对高超声速飞行器纵向模型进行反馈线性化。考虑燃料消耗导致的模型不确定参数，分析此线性化模型，并基于分析结果设计了自适应控制器，同时在控制律设计过程中注意避免执行器震颤现象。基于Lyapunov函数的稳定性分析结果表明，所设计控制器能保证跟踪误差全局一致最终有界。基于高超声速飞行器的非线性模型进行数值仿真，结果表明所设计控制器具有良好的参考轨迹跟踪控制性能，实现了期望的鲁棒性。