红层软岩遇水作用的孔隙结构多重分形特征*

周翠英 梁 宁 刘 镇

(①中山大学， 广州 510275， 中国)(②中山大学， 广东省重大基础设施安全工程技术研究中心， 广州 510275， 中国)

0 引 言

水岩作用机理一直是岩土工程领域研究的热点，红层软岩作为多孔介质的岩土体，其内部含有大量亲水性的黏土矿物。遇水后，红层软岩内部的黏土矿物与水发生反应，导致矿物颗粒间的胶结作用减弱，从而降低岩体的力学性能(Guery et al.， 2008； 邓华锋等， 2016； 苏航等， 2018)。

关于水岩作用的研究，主要集中在通过测定水溶液成分的变化以及岩样细观结构的变化两方面进行展开。而红层软岩是由固、液、气三相构成的离散体，其固相占据绝大部分的比例，分为骨架颗粒和黏土矿物，固相颗粒之间形成孔隙，红层软岩遇水后，水分沿着孔隙通道不断进入内部。而黏土矿物与水之间发生的化学反应，主要表现为黏土矿物与水之间的离子交换作用，通过测试水溶液的离子浓度变化、电势差以及酸碱性等手段，从而揭示水岩作用机理，该方面的研究已经取得良好的成果(周翠英等， 2010； 刘镇等， 2011； 黄明等， 2016； 王章琼等， 2018)。

对于红层软岩细观结构的变化，众多学者也进行了大量的研究。主要集中在：从得到的岩石切片图像，通过图像的灰度处理分析了岩石内部颗粒、孔隙之间的变化，从而揭示岩石损伤演变过程(Lebourg et al.， 2004； 易成城等， 2016； 赵斌等， 2018)； 从细观力学的理论为出发点，建立细观结构与损伤变量之间的关联性，发现损伤度的大小影响了岩样的渗透性(陈瑜等， 2010； Liu et al.， 2018)； 通过对岩样进行加载破坏试验，初始标定颗粒的位置状态，给定岩样的内置裂隙分布，借助SEM扫描电镜观察岩样内部颗粒的变化过程，或由CT扫描技术观测岩样各区段的细观组成结构，研究岩样不同破坏程度的本构模型(李术才等， 2007)； 根据数字图像处理技术，研究红层软岩破坏过程中内部颗粒粒径、接触方式、排列等分布特征对岩体力学性能的影响程度(马少鹏等， 2006； 徐永福， 2017； 陈鹏宇， 2018)。综上所述，这些研究从定性的角度为主，而对岩体细观结构的定量化描述较为少见，同时对其灾变过程的内部孔隙变化主要是从整体上进行分析，忽略了细部结构的影响，而细部结构特征往往对岩体的力学性能起着关键性的作用，例如相同孔隙率的两种不同岩样，由于内部孔隙的分布、排列、疏密程度等的不同，从而造成两种岩样的抗压性相差较大。

因此，为了解决以上问题，采用多重分形理论对红层软岩灾变的细观结构进行定量化分析，从得出的多重分形参数揭示红层软岩的内部结构特征。通过获得红层软岩在不同饱水时间下的SEM扫描细观图像，将图像进行二值化处理后，计算出孔隙的整体分形维数，同时计算孔隙的大小与数量之间的关系，最后采用多重分形方法，得出孔隙的广义分形与多重分形谱，从而揭示孔隙大小的离散程度、疏密程度。

1 红层软岩遇水作用的细观结构

选取华南地区灰白色粉砂质泥岩作为研究对象，将软岩进行不同时间的饱水试验，其饱水时间分别为：天然状态、饱水1个月、饱水3个月、饱水6个月、饱水12个月。通过SEM扫描电镜观察，获取不同饱水时间段软岩的细观结构图像并进行分析，选出具有代表性图像进行研究，其电镜扫描图片如图1所示。从图1可以清楚看出，软岩经过不同时间的饱水作用，其内部结构发生明显的变化，颗粒之间的连接随着饱水时间的加长变得松散，整体性变差。

图1 岩样在不同饱水状态下的细观结构(×3000倍)Fig. 1 Mesoscopic structure of rock samples under different saturation conditions(×3000 times)a. 天然状态； b、c、d、e. 分别为饱水1、3、6、12个月

2 红层软岩的孔隙结构分析

为研究软岩灾变过程中的细观结构变化，需将图像所反映出的结构部分进行有效提取，图像中反应的是软岩内部固相与孔隙之间两者成分相互变化的关系，因此，将图1中的图像进行二值化处理，使之能明显看出软岩结构的固体与孔隙两部分。通过处理后的二值化图像，可计算出各自的孔隙率。

2.1 孔隙分形维数

采用盒维数法计算软岩不同饱水时间段孔隙的分形维数。假想用边长为δ×δ的正方形网格图像，所需要的盒子总数为N(δ)，能覆盖到孔隙的盒子数为n。改变边长δ的大小，则可由式(1)求得孔隙的分形维数为：

(1)

由不同软岩饱水时间段的细观结构图像求得的孔隙率与孔隙分形维数如表1所示。

表1 不同状态下岩样的孔隙率与孔隙分形维数Table 1 Porosity and fractal dimension of rock samples under different conditions

由表1可以看出，在天然状态下，岩样的孔隙率与孔隙的分形维数均较小，岩样有着较低的初始损伤程度。随着饱水时间的加长，孔隙率逐渐增大，同时孔隙的分形维数也有着变大的趋势。由此说明，在水的作用下，岩样内部固体颗粒在被削弱减少，而孔隙的成分得到增加，细观结构发生较大的变化，且随着饱水时间的加长，其结构的复杂程度越高。

2.2 孔隙分布特征分析

红层软岩内部的孔隙结构是相当分散的，同样大小的孔隙，在某一区域内较多，在另一区域或许很少，这样会使软岩的结构存在较大的差异。为更深入地对软岩的内部细观结构进行探讨，同时获得更细部的结构特征，由编写的Matlab程序对不同饱水状态下的二值化图像计算出每个孔隙的个数与大小，从而得出更为全面的孔隙信息，采用图像孔隙像素的多少代表孔隙部分的大小，所得到的不同孔隙大小与对应的个数如表2所示，图3为不同孔隙大小与其在所有孔隙中占的百分比。

表2 不同孔隙大小与对应个数Table 2 The size of different pores and the corresponding number

图2 不同孔隙大小所占的百分比Fig. 2 Percentage of different pore sizesa. 天然状态； b. 饱水1个月； c. 饱水3个月； d. 饱水6个月； e. 饱水12个月

从表2中可以看出，岩样内部细小孔隙的数量繁多，而大孔隙数量极少，且随着饱水时间的加长，小孔隙数量显著减少，大孔隙数量却没有明显的变化。图2中可以看出，大孔隙始终占据绝大比例，且在长期饱水下，其百分比趋于大值化，而小孔隙的百分比均较小，在不同饱水时间下，其占据百分比略有差异。对比分析表2与图2，虽然小孔隙数量很多，但由于其各个孔隙都非常细小，因此其占有度一直很少，而每个大孔隙的分布却很广泛，因此在其数量很少的情况下，其占有度一直很大。

因此可知，在水岩作用力不均衡情况下，某些区域的小孔隙不断扩张、汇合成为大孔隙，从而使小孔隙数量减少，大孔隙数量增多。结合表1、表2、图2，从总体上而言，饱水时间越长，软岩的孔隙率越大，分形维数越高，软岩内部的孔隙也发生不同程度的变化，其内部由小孔隙逐渐向大孔隙演变，大孔隙的数量、总体占有度均得到增加，而这一变化规律也正好说明了水对软岩的损伤作用变得更为明显。

3 红层软岩孔隙结构的多重分形

图3 孔隙在不同饱水状态下的分配函数Fig. 3 Distribution function of pores under different saturation conditionsa. 天然状态； b. 饱水1个月； c. 饱水3个月； d. 饱水6个月； e. 饱水12个月

根据上述可知，由分形盒维数可以反映岩样孔隙结构总体的变化情况，在全局上把握其结构的变化趋势，该方法却有着自身的局限性，对孔隙的细部结构特征未能做出更进一步分析。然而，孔隙结构的分布特征对软岩有着很大的影响，孔隙的大小分布、疏密程度、离散程度等重要特征将在很大程度上决定着红层软岩的力学性质。利用多重分形的方法(Salat et al.， 2017； Torre et al.， 2018)，可以有效解决这一问题，更好地表征红层软岩内部孔隙结构。

3.1 孔隙多重分形的验证

基于分形理论出发，将得到的不同饱水状态下岩样SEM二值化图像进行大小不同的区域划分，通过计算每个区域内部孔隙的概率测度，初步反映孔隙结构的离散情况。设研究区域图像像素尺寸为w×h，将图像用正方形网格划分，若每个小正方形网格尺寸为δ×δ，则得到的孔隙在不同位置的概率测度为：

pi(δ)=ni(δ)/∑ni(δ)

(2)

式中，ni(δ)为第i个覆盖盒子内部孔隙的总像素。从式中可以看出，pi(δ)的大小代表着孔隙在每个不同部位对于整体的占有度情况。对于一定研究区域而言，由于其内部结构的复杂程度，孔隙的分布毫无规则，离散程度很高。若采用统计矩的方法，给出一定范围内的[-q，q]阶次幂，q为整数，对pi(δ)进行统计划分，则可得到孔隙结构分布的分配函数x(q，δ)，通过分配函数在阶次取值范围内的变化情况，可看出孔隙的多重分形特征(图3)，其中，q的取值为10，即统计矩的阶次范围为[-10，10]。

从图3可以看出，就整体上而言，在相同的阶次下，岩样内部的孔隙结构在lg(δ)～lg(x)上为分段的线性演变规律，其整体大致呈现一阶线性指数趋势，尤其对于阶次较高的部分(q>0)，从图形上表现出非常严格的线性分布特征。因此可看出，对于相同的q值，曲线基本保持特定的斜率，而对于不同的q值，其斜率各不相同，根据分形理论的无标度性与自相似性并结合lg(δ)～lg(x)曲线可知，孔隙结构正好体现出多重分形性质。

研究表明，水岩相互作用过程中，各部分的作用效果相差较为明显，导致内部存在不平衡应力，而应力的不同，对红层软岩各处造成的损伤程度也存在差异。因此，结合多重分形理论可知，水岩作用的实质即为多重分形效应的演化，进而造成岩体内部孔隙与损伤程度的千差万别，从SEM扫描电镜得出的零散分布的孔隙也恰好得以说明。

3.2 孔隙结构的多重分形表征

多重分形方法是表征离散分布研究对象的有利工具，红层软岩内部孔隙结构各处的分形效果相差显著，可由多重分形的各项参数对其内部结构进行较为细致的定量表征。基于给定的q阶次方，由此得到的广义分形维数D(q)、奇异性指数α(q)以及多重分形谱函数f[α(q)]是多重分形理论的3个重要组成部分，文献(Salat et al.， 2017)给出了具体计算过程。通过这3个函数，可有效分析孔隙结构的不均匀性、离散性以及大小孔隙之间在不同饱水时间的比重关系，从而发现岩样遇水作用后孔隙的变化规律。通过编写的Matlab程序，得出的不同饱水时间下岩样内部孔隙的广义分形维数D(q)随q的变化关系如图4所示，以及多重分形谱函数f[α(q)]随奇异性指数α(q)的变化关系如图5所示。

图4 不同饱水状态下孔隙的广义分形维数Fig. 4 The generalized fractal dimension of pores under different saturation conditions

图5 不同饱水状态下孔隙的多重分形谱Fig. 5 Multifractal spectrum of pores under different saturation conditions

从图4可以看出，岩样在不同饱水时间下，其广义分形维数D(q)为反“S”递减函数曲线，D(q)随着q的增大而减小，曲线在q=0处出现向另一方向弯折的趋势，且q<0时的广义分形维数均大于q>0时的广义分形维数。对比不同的广义分形维数曲线，对于q<0的部分，当q取值相同时，在岩样饱水前3个月，饱水时间越长，D(q)的值越大，过了3个月后，D(q)开始减小； 对于q>0的部分，当q取相同值时，岩样的饱水时间越长，其D(q)的值越大，这说明了饱水时间越长，岩样内部的孔隙结构越为复杂，其结构呈现多样化的发展趋势。

从表3中可以看出，对于相同饱水时间下的岩样，在各项广义分形维参数中均呈现D(0)>D(1)>D(2)的相同规律，恰好验证了岩样内部孔隙具有多重分形特征。其中，D(0)为容量维，代表孔隙分布范围，D(0)越大，孔隙范围分布越宽；D(1)为信息维，反映孔隙分布的集中程度，D(1)越大，孔隙分布越集中；D(2)为关联维，表示孔隙间隔的均匀性，D(2)越大，孔隙之间的间隔越均匀；D(1)/D(2)表示孔隙分布的离散程度，D(1)/D(0)接近1时，表明孔隙多分布在密集区，D(1)/D(0)接近0时，表明孔隙多分布在稀疏区。

表3 孔隙广义分形维数参数Table 3 Parameter of generalized fractal dimension of pores

多重分形谱可将岩样孔隙分布的复杂程度和不规则程度进行定量表征，从图5可以看出，多重分形谱曲线呈现向上凸的趋势，且均存在最大值，对于不同的饱水时间，多重分形参数fmax的最大值各不相同。在岩样饱水的前3个月，fmax随饱水时间的加长而增大，过了3个月后fmax开始减小。此外，多重分形谱曲线的跨度也存在不同程度的差异性，谱的宽度随着饱水时间加长而变宽，提取多重分形谱的相关参数如表4所示。

表4 孔隙多重分形谱参数Table 4 Parameters of multi fractal spectrum of pores

表4中，Δα=αmax-αmin，为多重分形谱的谱宽，描述了孔隙在分形结构上的局部特征，代表着孔隙结构在不同大小范围内的分布情况，Δα越大，孔隙分布越不均匀，这说明岩样饱水时间越长，其内部的孔隙分布差异性越大，大、小孔隙之间的分布越复杂。ΔαL=αmin-α(fmax)，为多重分形谱左半宽的宽度，反映了不同饱水状态下大孔隙的占有量情况，ΔαR=αmax-α(fmax)，为多重分形谱的右半宽的宽度，反映了不同饱水状态下小孔隙的占有量情况，R=ΔαL-ΔαR，其值均为负值，说明各阶段小孔隙的数量分布均大于大孔隙的数量分布。Δf=f(αmin)-f(αmax)，反映多重分形奇异谱的不对称性，岩样在天然状态下，Δf<0，说明小孔隙居多，多重分形谱曲线呈现右钩状，当岩样遇水作用后，Δf>0，说明岩样内部大孔隙居多，多重分形谱曲线呈现左钩状，且饱水时间越长，Δf的值越大，说明孔隙结构越复杂。

4 红层软岩孔隙特征与力学性分析

在水的作用下，红层软岩内部的黏土矿物与水之间发生的一系列反应，最终引起其结构的变化，从而降低岩体的力学性能。如何将红层软岩结构的变化与其力学性能建立关联性并进行合理的分析，将值得进一步的探讨，这里给出了岩样不同饱水时间下的抗压强度，如表5所示。

表5 岩样不同饱水阶段的抗压强度Table 5 Compressive strength of rock samples in different stages of water saturation

由表5 可以看出，岩样在天然状态与其遇水后的抗压强度均较低，且饱水时间越长，抗压强度越低。通过建立岩样不同饱水时间下的孔隙结构广义分形参数与多重分形谱参数的关系，得出其中的相关演变规律如图6、图7所示。

图6 岩样不同饱水状态下的抗压强度与广义分形参数Fig. 6 Compressive strength and generalized fractal parameters of rock samples under different water saturation conditions

图7 岩样不同饱水状态下的抗压强度与多重分形谱参数Fig. 7 Compressive strength and multifractal parameters of rock samples under different water saturation conditions

由图7可以看出，对于广义分形参数，这三者总体而言呈现一种增大的趋势，表示岩样内部孔隙的占有度在增加，同时孔隙更加离散化，与之对应的是岩样整体抗压强度变低，体现出孔隙的广义分形参数与其力学性能存在一定的负相关性。而由图7可以看出，对于多重分形谱参数，当奇异性指数整体趋于减小时，岩样的抗压强度也在减小，体现出孔隙的多重分形谱参数与其力学性能存在一定的正相关性。

表6 分形参数与岩样抗压强度的变化率Table 6 Fractal parameters and the change rate of compressive strength of rock samples

表6 给出了各分形参数与岩样抗压强度之间的变化率关系，以此对其抗压强度与分形参数之间进行关联度与敏感度分析，其参数变化率计算公式如下：

(3)

式中，η为相应参数变化率；n2为岩样后一种饱水状态的参数值；n1为岩样前一种饱水状态的参数值。从表中可以看出，对于岩样饱水前3个月，其抗压强度的变化率明显，其相应的分形参数在这个时间变化也较大，这说明了岩样饱水的前3个月，由于水-岩之间的作用反应较为活跃，其内部结构出现较为快速的变化效果，岩样的孔隙结构在这一时间段内有着较为复杂、明显的变化。而过了3个月后，水-岩之间的作用稍有减缓，使得岩样在饱水6个月、饱水12个月后孔隙的分形参数变化率有所减小，从而可知岩样饱水前3个月，各分形参数与抗压强度的变化较为敏感。

因此，通过以上分析可知，采用多重分形理论有效、准确地表征红层软岩内部孔隙结构，可清晰分析孔隙的分布情况，同时根据广义分形维数与多重分形谱参数的变化趋势，更好地揭示软岩力学性能，建立红层软岩孔隙结构与其损伤之间的关系。

5 结 论

(1)本文通过红层软岩不同饱水时间下得到的SEM扫描电镜图像，针对孔隙结构的变化进行探讨研究。计算了孔隙的分形盒维数，发现饱水时间越长，其分形维数越高。同时计算了岩样内部大、小孔隙的数量与各自的占有度情况，可以得出岩样在不同饱水时间大、小孔隙之间的变化规律，即小孔隙数量随饱水时间的加长而变少，大孔隙呈增大趋势，且大孔隙一直占据绝大比例。

(2)采用多重分形理论对孔隙结构进行定量分析，由分配函数与统计阶次的变化关系，并结合分形理论的自相似性与无标度性验证孔隙结构存在多重分形特征，发现孔隙的变化过程即为多重分形效应，岩样内部各处的孔隙演变效果相差各异。通过计算得出的广义分形维数与多重分形谱函数，从整体到局部有效的表征孔隙的变化与分布规律，由广义分形维数分析了孔隙的不均匀性、离散性，由多重分形谱函数，反映出孔隙的不规则程度以及大、小孔隙之间的变化关系。

(3)将红层软岩不同饱水时间下孔隙的多重分形参数与抗压强度进行关联分析，从而发现广义分形维数的增加或多重分形谱参数的下降，与之对应的是岩样抗压强度的降低。不仅实现了对软岩内部孔隙结构的定量表征，同时也揭示软岩的整体力学性能，并由岩样抗压强度与分形参数的变化率做了相应的关联度与敏感度分析，得出红层软岩孔隙结构变化与损伤程度的关系，具有重要的参考价值。