一题多解探圆锥曲线中的最值问题

钱见宝

摘 要：高中解析几何研究的是一些平面几何图形，最值问题是一种常见题型，在解决问题的过程中，既要会关注图形的结构特征，找出几何本源，也要会代数转化思想，用代数方法解决.本文以一个抛物线最值问题为载体，通过多种解法的探索，展现圆锥曲线最值问题的常见解决方案.

关键词：圆锥曲线;抛物线;最值问题

最值问题是高中数学教学中的常见问题，而圆锥曲线中的最值问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目，是解析几何中的难点问题，也是高考的热点问题.

由于图形问题代数化是解析几何的核心，所以在圆锥曲线的最值问题中，可以根据几何图形的基本特征，找出几何图形的代数关系，以代数运算为手段研究最值問题.同时，解析几何问题的呈现方式是用几何图形来体现，所以圆锥曲线的最值问题也可以从形的角度去考虑问题，找出问题的本源，选择对应的知识解决问题.做到揭示数的性质能找到形的对应，形的特征能找到代数的表达，在认知上，让自然语言、几何图形、代数三者完美结合，从而使学生认知的提高超出知识的本身，帮助学生理解解析几何的本质、数学的本质.

题目 已知抛物线C∶x2=4y焦点为F，点P为抛物线C上的动点，点Q（0，-1），求|PF||PQ|的最小值.

分析1 几何转化结合题意，联系抛物线定义，把|PF||PQ|转化为研究直线PQ倾斜角正弦的最小值.

解法1 （利用导数的几何意义求切线斜率）如图1，过点P作PH垂直于抛物线C的准线y=-1于点H，设直线PQ的倾斜角为α，由抛物线的定义得|PF||PQ|=|PH||PQ|=sinα.

由图象知，当直线PQ与抛物线C相切时，sinα最小，从而|PF||PQ|最小.

设切点为（x0，14x20），由y=14x2得y′=12x，所以切线斜率为12x0.

故切线方程为y-14x20=12x0（x-x0）.

因为切线过点Q（0，-1），所以x0=±2.

根据抛物线的对称性不妨取x0=2，则tanα=1.从而sinα= 22.所以|PF||PQ|的最小值为 22.

解法2 （利用方程组思想求切线斜率）如图1，过点P作PH垂直于抛物线C的准线y=-1于点H，设直线PQ的倾斜角为α，由抛物线的定义得|PF||PQ|=|PH||PQ|=sinα.

由图象知，当直线PQ与抛物线C相切时，sinα最小，从而|PF||PQ|最小.

结合图象知切线斜率存在，所以可设切线方程为y=kx-1，与x2=4y联立方程组消去y得x2-4kx+4=0.

由△=0得k=±1.根据抛物线的对称性不妨取k=1，即tanα=1.从而sinα= 22.

所以|PF||PQ|的最小值为 22.

方法总结 圆锥曲线的定义反应了圆锥曲线的本质，理解定义、活用定义是解决圆锥曲线中有关长度问题最值的关键，如：当题目中涉及到抛物线上的点到焦点的距离可转化为到准线的距离，相反，涉及到抛物线上的点到准线的距离可转化为到焦点的距离;圆锥曲线上的动点问题，若涉及另一个定点，可以转化为直线的运动，探究运动过程中何时符合题意，进而转化为研究直线与圆锥曲线的位置关系;直线与圆锥曲线的位置关系问题通常用联立方程组的思想解决，对于开口向上的抛物线方程可以转化为二次函数，切线问题也可以利用导数的几何意义处理.

分析2 代数方法设点P坐标为（x0，y0），利用两点间的距离公式建立函数模型研究最小值.

解法3 （用二次函数求最值）设点P坐标为（x0，y0），则|PF||PQ|=y0+1 x20+（y0+1）2=y0+1 4y0+（y0+1）2.

即|PF||PQ|=y0+1 （y0+1）2+4（y0+1）-4.

设t=y0+1，因为y0≥0，所以t≥1.

则|PF||PQ|=t t2+4t-4=1 -4t2+4t+1=1 -（2t-1）2+2≥1 2= 22.

所以当t=2，即y0=1时，|PF||PQ|的最小值为 22.

解法4 （用基本不等式求最值）设点P坐标为（x0，y0），则|PF||PQ|=y0+1 x20+（y0+1）2=y0+1 4y0+（y0+1）2.

即|PF||PQ|=1 4y0（y0+1）2+1≥1 4y04y0+1=1 2= 22.

所以当且仅当y0=1时，|PF||PQ|的最小值为 22.

方法总结 解析几何的数学本质是以数代形，在处理解析几何中的很多问题时我们都要用到代数中的函数思想、方程思想等在圆锥曲线的最值问题中，当条件中某个参数与所研究的目标可以建立函数关系时，我们可以构建函数关系，然后转化为函数求最值的问题去解决，常用的有二次函数求最值、基本不等式求最值、导数法求最值、单调性法求最值，在求解过程中，由于几何图形的特征，一定要注意函数的定义域.

解析几何最值问题通常有两类：一类是长度，一类是面积以上我们探索了一个抛物线长度最值问题的多种解法，这也是处理解析几何最值问题的常用方法总之，对于圆锥曲线中的最值问题，既要关注到几何图形的本身特征，找出几何本质，挖出本源;也要会把几何问题转化为代数问题，用代数知识解决，实现解析几何与代数的相互融合，相互应用，最终形成一个完美的组合.

参考文献：

[1]杨云显 抛物线中的几类最值问题及解决方案举例[J]. 中国数学教育，2011（12）：37-39+41.

（收稿日期：2019-11-20）