探夹角之谜 究几何本质——对一道平面向量恒成立问题的解法的再思考

芦 迪 吴 凯

(1.浙江省杭州市萧山区第三高级中学 311201;2.浙江省湖州市菱湖中学 313018)

近日，笔者遇到一道平面向量恒成立问题，分别从代数和几何两个角度进行了探究，试着寻找其有效的解题方法.

本解法关键的突破口是将向量模的不等式问题平方转化为二次函数恒成立问题，由二次函数的性质可得答案，用换元思想解题是本解法最为灵巧之处，真可谓“化腐朽为神奇”，化难为易.但是，这样的纯代数运算运算量较大，对多数学生来讲还是有一定难度的.

角度二我们能否从几何角度来分析问题呢？

那么，我们如何才能利用几何意义来寻找所求夹角呢？

我们通过以上特例的分析，那么如何才能找到满足题意的夹角呢？

我们需要利用轨迹思想，探寻夹角.

有了前面的探究与分析之后，我们就不难将以上几何方法简化为以下过程：

这样就可以快速找到答案了.通过两个角度的分析，我们就将解法从原来的代数化运算，逐步过渡到了如图6的简图解法，实现了解法的优化过程.

然后，笔者将例题进行了适当的改编，有了以下2个变式演练，供读者尝试解答.