二次根式运算中常见错误剖析及教学对策

黄伟丹

内容摘要：新课程标准要求，数学课程要以提高学生的科学素养为主旨，激发学生学习数学的兴趣，帮助学生了解数学学习的基本过程和方法，发展数学反思和探究能力，获得进一步学习和发展所需要的数学基础知识和基本技能为目标。因此，在数学教学中要充分体现反思探究活动，学会对常见错误进行剖析。本文主要谈谈如何剖析二次根式运算中的常见错误和找到有效的教学对策。

关键词：二次根式运算   常见错误   剖析   反思   教学对策

八年级学生初学二次根式时，往往因为对混合运算法则及二次根式的性质理解不透，记忆不牢，导致运算中出现各种“低级”错误。心理学家盖耶说过： “谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，谁就将错过最富成效的学习时刻”。笔者认为在教学中应该理解、善待学生认知过程中出现的各种“错误”，因此特地去努力收集学生运算中的各种“错误”，作了深入的调查研究和详细的分析，期望能够起到抛砖引玉的作用，引起更多同行的关注。

一、二次根式运算中的常见错误类型剖析

（1）符号错误

例1：计算：  。错解：原式=。剖析：学生合并同类二次根式时，最后结果的符号不是取绝对值大的二次根式符号，导致出错。正解： 原式= 。

例2：计算：  。错解：原式= 。剖析：应用乘法分配律，把和括号内的各项相乘时，不能认为把“” 只给第一项，导致与第二项相乘时出现符号上错误。实质上，括号中每一项都要乘以。正解： 原式= 。

（2）违背运算顺序

例1：计算：  ，错解：原式= ，剖析：学生在进行同级运算（乘除）时，没有从左到右计算，而是贪图简便，忽视了运算顺序。正解： 原式=

（3） 忽视结果的化简

例1、计算：，错解： 原式=

例2、计算：，错解： 原式=

例3：计算：，错解： 原式= 。剖析：在进行运算时，出现、、时，要对它们进行化简，使被开方数不含分母、开得尽方的因数和分母不含根号。

例4：正解： 原式=

（4）乱套运算公式

例1、计算：  ，错解1：原式= ;错解2：原式;剖析： 错解1把式子运算为： ，是错误的; 错解2 把“+”误作“”， 错误理解为：。实际上化简为后，再与同类项合并。（这里）。正解： 原式=

例2、计算：  ，错解：原式= 。剖析：学生对运算式“”，错误理解為： ，应为：  （ ，）。正解： 原式=

（五）随便约分

例1、计算：  ，错解：原式= ，剖析：错解原因是学生看见分子、分母有相同的数，就随便约分，剩下分子中的数：。正解：原式=

二、二次根式常见错误的原因分析

二次根式常见错误的产生有其客观原因，也有主观原因。

（1）客观原因：主要是学生的学习环境和认知水平，容易造成做题目时出现各种各样的“低级”错误。

（2）主观原因：1.教师方面的主观原因。教师在平时的教学中，教学方式能否体现学生的主体地位，能否注重以学生自身发展为主， 能否突出让学生自己去动手操作、体验感知得出结论等，这些都直接影响学生的运算能力。2.学生方面的主观原因。①心理方面：我们常说学生“粗心”，大多是由学生感知、注意、思维、情感等因素造成的。如：把“+”误作“”，把“”看作“”等感知模糊现象;如例1的计算中， 是一个强信息，当学生注意力不集中时，会不假思索地算成;最后是情感不稳定：学生在计算时，总是希望能很快得到结果，因此遇到难题或较为复杂的题会产生排斥心理，没有信心和耐心去合理计算，从而导致各种错误出现。

（3）双基方面。我们经常可以见到这样的现象，就是在二次根式的每一节课的教学与练习时，多数学生都能当堂达标，但是到了综合运算时，就出现了混乱，如例5、例6、例9等。这反映了学生的双基是不扎实的。长此以往，运算生疏，基本运算不熟练，二级运算能力也会随之下降。由此可见，我们教师帮助学生分清相关内容、知识点、基本方法，澄清区别和联系，熟练训练是很必要的。

（4）非智力方面。非智力因素主要是学生的学习是否有正确的学习动机， 是否心细如丝， 是否养成了良好的学习习惯等方面。如果这些方面做不好，会导致计算频频出错。

三、矫正学生二次根式运算错误的教学对策

攻克了二次根式运算错误，就等于我们攻克了学生数学学习之路的一大障碍。变“常错”为“不错”，是我们的终极目标。那么怎么才能做到这一点呢？这就需要我们教师时刻以学生为主，琢磨出适合学生的最有效的教学对策。这就要求我们做到以下四点：

（1）在数学教学中培养学生的耐挫力。在数学教学中培养学生向上的心理，锻炼孩子们的耐挫力，促进良好情感和价值观的养成，将耐挫力的培养融入到日常数学教学中有着必要的现实意义。它不仅是学好数学的需要，更是社会竞争对人才的要求。

（2）培养学生仔细审题的好习惯。审题习惯是多种能力的综合体现。审题是解题的第一关，也是最重要的一关。因为在计算中，运算方法、运算技巧再熟练、再灵活，如不能正确审题，方向出错，就会南辕北辙，犯了根本性的错误。所以，只有正确审题，才是正确解题的最基本保证。

（3）重视双基的形成过程。在教学二次根式运算过程中，我们不要害怕学生出现计算错误，只注重教给学生正确的结论，而不注重知识形成的过程，害怕启发学生进行讨论会得出错误的结论。如果长此以往，学生会被动地接受知识，没有探索知识的能力，面对错题会措手无策。

因此，在教学中要重视双基的形成过程，运用法则运算时，先设计一些层次低的练习，再逐步地加深知识难度和深度，从而树立学生学习的自信，培养他们学习的兴趣，体现“不同的人在数学上得到不同的发展”这一基本理念。

（4）培养良好的错题更正习惯。在平时的练习、作业、测验中收集错题，建立错题本，教会学生如何反思：错在哪一步、哪一环节、哪一知识点？ 在错题本标清楚，写上错因和正确解法。这其实就是对学生的学法指导，就是对学生学习习惯的培养，也是学生自我反思的过程，对学生的成长有着极为深远的意义。

“二次根式常见错误”往往是学生在学习二次根式时的思维、认知、经验最真实的暴露。笔者坚信，错误是正确的先导，是通向成功的阶梯，是教和学珍贵的财富资源。错误是达到真理的一个必然环节。只要我们积极耐心引导学生把二次根式常见错误，分析透、练得多， “常错”就会成为“不错”。正如《为学》中所说“天下事有难易乎？为之，则难者亦易矣;不为，则易者亦难矣”。攻克二次根式常见错误，乃至数学难题都是这样，只要我们分析清楚原因，在教学中找到解决问题的有效对策，那么我们的教学就是高效的，我们的教改之路必然会顺利地扬帆航行。

主要参考文献：

1、马复主编.《义务教育教科书——数学》八年级上册.北京师范大学出版社。

2、丁保荣主编.《数学课程标准解读》.浙江大学出版社。

3、吕顺营主编.《中学数学》.湖北大学《中学数学》杂志社。

4、林长好主编. 《中学数学研究》.华南师范大学.广东省数学会。