建模思想在中考数学复习中的应用实践

李燕

摘要：“建立数学模型”的实质含义是：在数学学习环节，选择形式化的语言及数学符号，去表述某一类型数学问题的关系及特征，使其具备一定的概括性及抽象性。在实际教学环节中，将所遇到的数学问题进行实际转化后，变成容易解决或者有解决经验的简单问题，从而可以轻松进行求解。

关键词：数学模型；建模思想；中考数学

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）09-0166

现如今，建模的利用率越来越高，建模为初中教师的数学教学以及学生的学习带来了很大的帮助，其不仅是一种解决问题的基本方法，更是学生解决问题时必不可少的根本思想。

一、方程（组）模型

简单来讲，这一模型是应用方程（组）模型，对生活中存在的数量关系进行分析。笔者意在通过一个例题，详细描述建模思想在方程复习中的应用。

例1：现有一店铺销售一种合金，用A、B两种金属按一定的质量比混合成合金。已知A、B两种金属每千克的价格比是3∶4。实际制造时，A金属少用了20%，B金属多用了20%，结果合金的价格与原计划的价格相同。原来两种金属的质量比是多少？

第一步：教师通过提问引导学生分析题意。师：“合金价格如何表示？”生：“A的单价×A的质量+B的单价×B的质量。”师：“要表示合金实际价格和原计划的价格，我们需要知道什么？”生：“A、B的单价，A、B实际生产和原计划的质量。”师：“你准备如何设数？”生：“A、B两种金属每千克的价格比是3∶4，设A金属每千克的价格是3，则B金属每千克的价格是4。”

第二步：学生自我尝试，学生尝试设数，发现结果两边不成立。师：“我们需要求两种金属的质量比，不知道比的情况下，设数就会出现题干中的等量关系不存在，为了避免这个问题，我们可以通过设未知数来避免这个问题，但是利用未知数解题必须先建立方程的模型。”

第三步：建立模型：A金属的单价×A金属的质量+B金属的单价×B金属的质量=A金属的单价×A金属的质量（1-20%）+B金属的单价×B金属的质量（1+20%）。

第四步：模型求解：设A金属的单价为3，B金属的单价为4；原计划中A金属的质量为x，B金属的质量为y。根据题意得3x+4y=3×（1-20%）x+4×（1+20%）y，3x+4y=2.4x+4.8y，0.6x=0.8y，x∶y=0.8∶0.6=4∶3，答：原来两种金属的质量比是4∶3。需要注意的是，在选择建模思想进行数学问题教学时，应保持难易适中的原则，并且将合理、创新、真实以及有效作为基础，从学生实际出发，如此才能达到真正的效果。

二、不等式（组）模型

数量间的不等关系在日常生活中较为常见，笔者通过以下例题将建模思想在不等式组中的应用进行详细说明。

例2：一工厂有50名员工，工厂想要添加几条生产线，需要在这50名员工中抽取，在抽取分工后，余下的员工要求每月人均增加40%的产值；而被抽取的员工每月人均产值需要变为以往的3倍，若余下的员工每月生产的总产值不低于分工前总产值，同时抽取的员工每月生产的总产值又不低于分工前每月生产总产值的一半，那么想要满足这一情况，抽取人数需在什么范围？

利用数学建模思想解决初中数学不等式问题，重在抽象概括、分析量之间的关系。这种解题思想能够很好地培养学生应用数学解决实际问题的意识和提高学生分析问题的能力。

三、几何模型

在日常生活中的诸多方面都能涉及到几何，如图形设计、结构设计、测量等，笔者将通过以下例题详细描述如何利用建模思想构建几何模型。

第一步：教师通过提问引导学生分析题意。师：“通过仔细审题，题中只是告诉我们一些与角有关的条件，那么我们应怎样求线段的和呢？”师：“截长法即在较长线段上截取一段等于两条较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一条较短线段；所谓补短，即把两条短线段补成一条线段，再证这条线段与长线段相等。”师：“回忆了这种方法，那么对于这道题目，是采用截长还是补短呢？”

第二步：学生分组讨论，提示学生可以参考思维导引。

第三步：建立模型。生1：“利用截长法来做，在AC上截取AF= AE，连接OF，证明CD=CF。”生2：“利用截长法来做，在AC上截取CD=CF，连接OF，证明AF=AE。”

第四步：总结建立构造全等模型的常用方法——添加辅助线。（1）在求线段的和差关系时，会采用“截长补短法”。（2）倍长中线：①已知三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形；②有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。

倍长中线造“8”字形，出全等有平行。

（3）遇见角平分线经常做辅助线的方法。

根据对称的思想，构造全等三角形。

四、函数模型

通过函数能够展现出事物间存在的关联，其能够很好地将现实存在的运动规律及数量关系体现出来。笔者通过以下例题将建模思想在二次函数中的应用进行详细说明。

例4：药店一瓶酒精（大瓶）的进价为40元，经过药店老板的调查，该酒精一周的销售量y瓶与销售单价x（x≥50）元/件，其存在以下关系：销售单价x（元/瓶）为55、60、70、75；对应一周的销售量y（瓶）为：450、400、300、250。

（1）T表示一周所得到的销售利润，列出T与x两者间存在的关系式，同时确定销售单价在哪一范围内变化时，销售单价增大销售利润也会随之增大？

（2）武汉新冠肺炎事件得到亿万人民的關注，该药店决定向武汉寄出商品一周所获取到的销售利润，低于一万元的酒精贷款下，计算出会有多少的捐款数额？

第一步：建立模型。（1）由销售量×（售价-进价）=利润，进而得到函数关系式，最终确定出销售单价的合理范围；（2）通过得知酒精贷款在一万元以下，得出实际进货量，最终通过计算出最大销售额。

第二步：进行模型求解。首先，设y=kx+b，由题得：55k+b=450以及60k+b=400，解得：k=-10，b=1000；则y=-10x+1000；由题得S=（x-40）（-10x+1000）=-10（x-70）2+9000，因此可以得到：此函数图形对称轴为70，并且开口向下。这表示，当50≤x≤70时，销售单价增大时，销售利润也会增大。其次，通过40（-10x+1000）≤10000式子得出，在x≥75时，也就是x为75时，利润为8750元，此时利润最大。

总之，在初中数学教学环节中，教师应与实际问题相结合，逐渐引导学生通过二次函数知识组建数学模型，从而轻松愉快地解决数学问题。

参考文献：

[1]李宝萍.在高等数学教学中数学建模思想的渗透[J].科教文汇（上旬刊），2011（10）.

[2]胡祎，潘剑斌.将数学建模思想与方法渗透在数学课中的研究与实践[J].宜春学院学报，2008（4）.

（作者单位：广东省茂名市行知中学525000）