把握概念本质 提升探究教学——对“函数的极值与导数”一课的思考

浙江省安吉孝丰高级中学 (313300) 汪本旺浙江省安吉县教育科学研究中心 (313300) 姚文建

高中数学课堂蕴含大量的概念课教学，如何把握概念的探究，提升课堂效率？人教A版选修2-2中函数的极值与导数，是概念课探究教学的好素材．教学设计的共识是：不能直接告诉学生利用导数直接判断极值，而是在教师的引导下，通过类比及合情推理归纳出结论，获得函数的极值概念．教学设计的难点是如何突破学生的探究难点——导数的介入(利用导数判断函数的极值)以及函数极值与函数最值的区别．笔者结合课堂教学实践，从学生数学学习的认知角度，探讨函数的极值与导数探究教学的四个问题：如何引起学生对新知识的共鸣？适合学生探究的起点是什么？如何处理学生探究过程中遇到的难点？关于探究式教学的思考？

一、理解教材意图，合理创设情境

新课程标准强调：“数学课程应当从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程．”同时建构主义也认为学习并非是对教师所传授的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程．所以，数学教师需要熟练掌握数学概念的引入方法．数学概念的有效引入，可以将学生思维带到某一概念的相关数学情境中，能有效地加深学生对数学概念理解与掌握．据此，笔者采用游戏引入，以下是教学片段：

师：让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点？”

学生间激烈地争论着这个问题，各执一词，情绪高涨．这时笔者已经将学生从“要我学”被动学习情绪激发到“我要学”的积极主动的学习欲望上来，学生能够自觉地参与课堂教学的过程中来．

师：结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就象数学上要研究的函数的极值——引出课题．

美国心理学家布鲁纳认为教学过程是一种提出问题、解决问题的持续不断的活动．本节课的探究问题是函数的极值的如何用导数描述，函数的极值与函数的最值区别，其中导数的介入是探究的难点．笔者和同事在教学中分别采用如下两种设计思路：

设计1 探究的起点是依托学生课前自主预习，然后课堂上直接给出：可导函数y=f(x)，x0是极大值点⟺f′(x0)=0且x0两侧附近导数左正右负．

图1

设计2 探究的起点是先复习函数的单调性与其导数的关系，然后让学生观察图1，当运动员距离水面高度最大时，此点的导数值是多少，此点附近的图像有什么特点，相应的，导数的符号有什么变化规律？并回答下列问题：

(1)当t

(2)当t>a时h(t)的单调性是；

(3)当t=时运动员距水面高度最大，h(t)在此点的导数是;

(4)导数的符号有什么变化规律？

二、基于学生的认知，降低探究起点

导数理论从产生到完备经历了几个世纪，凝聚了数学家的心血．如今学生“再创造”学习时，在没有教师的引导下，导数介入函数的极值中是很难理解的．这样的“突然一跳”作为学生的探究起点，难度很大，不免给学生造成此内容好像是“帽子里跳出的兔子”．因此，探究的起点应从学生熟悉的公式或概念开始．

上述的两种教学设计的主要区别是探究的起点不同，但不同的起点都是为了让学生体会函数的极值是局部最值的概念，基于学生的认知，寻找函数的极值的算法——导数介入是个难点．从教学实践来看，设计1中通过学生课前自主预习，课堂学生展示，体现了学生主观能动性．教学过程很流畅，课堂完成例题也较多，给人感觉很符合学生的认知过程．但课后学生就曾经问过：“我感觉求函数的极值很简单，只要把利用导数求极值的方法记住就可以了，其实我并不是很理解什么是极值，但这并不影响我做题．”知识容易遗忘，并且缺少提示导致学生失去探究的兴趣．设计2依托教材设置问题情境，让学生自主探究，从而生成函数极值的概念及求法．这种设计避免了设计1中的学生类比这个难点，但是学生又有新的疑问：“怎么想到用导数来判断函数的极值呢？是不是所有的函数都是要先求导数等于0的点，再判断该点左右两侧的符号呢？如果函数在某一点处导数不存在，那又如何判断该点是否为极值点呢？”

从学生的反应可以看出，这两种教学设计起点都能够符合学生认知观．但是，在探究过程中学生在合情推理时不是那么容易归纳出函数的极值概念，特别是用导数法判断函数的极值，觉得“导数的介入”不是那么的“合情”，即使部分同学推理出导数法判断函数的极值，但是函数的极值概念的理解上又有难点．例如：x=0是函数f(x)=|x|的极值点吗？如果是，是极大值点还是极小值点呢？那么如何设计探究过程，突破这个难点呢？

三、把握概念的本质突破探究难点

函数的极值本质反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．笔者思考是否可以让学生通过观察图形直观形象的得到“局部最值”的初步想法，通过对比函数的最值，引发学生的认知冲突，使学生认识到“局部最值”不同于函数最值，是一个全新的概念，从而生成函数极值的概念．针对上面两种教学设计，笔者在第二次教学中做了相应修改，下面是笔者的教学片断：

问题1 观察图2和图3函数图像，回答以下问题.

函数y=f(x)在a点的函数值与它两侧附近的函数值之间有什么关系？

生：观察分析后发表自己的见解．

教师点评：函数y=f(x)在a点的函数值f(a)比a点两侧附近其他点的函数值都大，它是一个局部的概念，不同于函数的最值，为了区分函数的最值，我们需要加以新的定义．

概念生成(学生归纳)极大值的定义：函数y=f(x)在a点的函数值f(a)比a点两侧附近其他点的函数值都大，我们把a点叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值．

师：你能类比极大值的定义，给出极小值得定义吗？

概念生成(学生归纳)极小值的定义：函数y=f(x)在a点的函数值f(a)比a点两侧附近其他点的函数值都小，我们把a点叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值．

研究数据结果得出数据录入WPS xls表格中,统计学处理借助软件SPSS21.0实现,术后疼痛程度评分结果由均数±标准差(±s)形式描述,组间数据结果对比经过t检验;治疗效果、术后复发率均由数(n)或率(%)形式描述,组间数据结果对比采用χ2检验,P<0.05说明差异有统计学意义。

教师点评：极小值点、极大值点统称为极值点，极小值、极大值统称为极值；强调极值点是横坐标，极值是纵坐标．

图4

观察图4，回答下列问题：

问题2 找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些为极小值点？

问题3 极大值一定大于极小值吗？

问题4 函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？

问题5 区间的端点能成为极值点吗?

教师点评：极值刻画的是函数的局部性质，而最值刻画的是函数的整体性质，是两个不同的概念．

问题6 回到问题1、问题2的图像，这些函数极值附近两侧的图像变化如何？

生:这些函数极值点左右两侧图像变化趋势是相反的．

师：函数图像的上升与下降可以用什么来刻画？

生：单调性．

师：那现在我们知道函数的极值可以用单调性来刻画，那函数单调性又可以用什么来刻画呢？

生：函数的导数．

为此，笔者很自然的突破了本节课的难点，导数来刻画函数的极值．为了解决学生提出的“是不是所有的函数都是要先求导数等于0的点，再判断该点左右两侧的符号呢？如果函数在某一点处导数不存在，那又如何判断该点是否为极值点呢？”，笔者进行如下设计：

师：思考如下问题：x=0是函数f(x)=|x|的极值点吗？如果是，是极大值点还是极小值点呢？该点处的导数存在吗？

生：x=0是函数f(x)=|x|的极小值点，且该点处导数不存在．

教师点评：导数为零的点不一定是函数的极值点，一般情况下函数的极值点导数都为0，但有时在极值点导数不一定存在．

以上可以看出探究“导数介入”难点的认知困难，在学生已有知识的基础上以问题的形式引导学生关注概念本质，排除不利概括的“干扰”因素，由此完成探究任务，这是一种教学策略．

四、反思概念的生成，总结教学心得

任何抽象的理论知识或方法的学习都要从学习概念开始，良好的概念引入方法对后续的教学有极大的帮助．数学概念一般用精炼、严密、抽象的数学语言来表述，理解起来也就相对较难．这也反映出理解数学概念对于教学的重要性．

1．把握概念的本质，“再创造”式探究

学生在学习时，总会有这样的疑问，数学家是怎么发现这些知识的．这也给我们一个启示：数学“再创造”是设计探究教学的一种途径．教师的任务是在认清概念的本质下，引导和帮助学生进行这种再创造活动，而不是把现成的知识灌输给学生．让学生在“再创造”过程中体验到：如果当时的有幸具备了我们现在的知识，他们是怎样创造出来的(在现有知识基础上，如果积极思考，也可以有重大发现和创造.从而培养学生的创新意识和创造能力．)．

2．三个认知层次要环环相扣，符合学生的认知规律

张熊飞教授在《诱思探究学科教学论》提出学生的认知过程：“观察(探索)——思维(研究)——迁移(运用)”，笔者设计了“设置引例、奠定基础——思考探究、总结规律——学以致用、提升能力”三个认知层次．在第一个认知层次中，为学习新知识做好准备就行；在第二个认知层次中，更是把“思考探究”作为学生学习的主要方法；在第三个认知层次中，要求学生亲身体验练习，巩固对定义和性质的理解，达到学有所用．这样就做到了环环相扣，前一个认知层次为后一个奠定基础，后一个认知层次是对前一个的深入和升华．在教学活动中，给学生“犯错误、逐步成长、独立自主”的机会，这样学生就能不断地“修正自己、展示自己、完善自己”．

3．合理设置导向性信息，创造高效课堂

每个有效的活动都要坚持落实在教师导向性信息诱导下学生真正地学，都要有明确的目标导向．让学生清楚地知道自己在这一活动中究竟“学什么？怎么学？”．以具体、扼要、明确的学习任务驱动学生的学习活动．笔者深深感受到探究性学习课堂中，学生独立地发现问题、获得自主发展的魅力．在学习活动中，学生收获了知识，培养了能力，增强了信心，这才是真正的高效课堂．