带参数的渐近线性椭圆方程组解的分歧性

马洋洋，贾 高

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

考虑带参数的渐近线性椭圆方程组

在共振和共振附近正、负解的存在性与分歧性，其中，Ω ⊂RN(N≥2)是带有光滑边界的有界区域，λ∈R是参数，θ1,θ2(θ1≠θ2)是2 个正常数，m(x)＞0 a.e.x∈Ω是一个L∞(Ω)函数，非线性项f,g:R×Ω×R×R→R满足下面条件：

（h1）f和g是 Carathéodory 函数；

（h2）存在2 个非负函数b1(x),b2(x)∈Lr(Ω)(r＞N)和2 个常数k,l＞0，使得

其中，|s|表示实数s的绝对值；

（h3）当 λ在某闭区间上以及a.e.x∈Ω，有

一致成立。

在20 世纪70 年代初，Rabinowitz[1-2]建立了关于算子方程的大范围分歧理论，后来Dancer[3-4]又建立了单边分歧理论，上述理论是有关方程分歧性研究所得到的相对成熟的结果。基于上述2 个理论，文献[5]给出了偏微分方程形如-Δpu+λm(x)|u|p-2u=φ(λ,x,u)(p≥2)，关于解在分歧点附近产生分歧的充分条件。Chhetri 等[6-8]将文献[5]中的问题推广到方程组，其中，文献[8]所研究问题的非线性项关于变量u，v是一致有界的。本文所研究的问题与文献[5-8]不同之处在于所处理问题的非线性项关于u，v具有非一致性。因此，本文的问题更具有一般性。

2 相关定义、假设与引理

基于问题（1）的特征，本文的工作空间为

对其赋予的范数为 ‖(u,v)‖=‖u‖W2,r(Ω)+‖v‖W2,r(Ω)。

为了简化陈述，可将问题（1）改写为

其对应的抽象算子方程为

其中，L:E→E表示映射

K:R×Ω×E→E表示映射

由Lax-Milgram 定理[9]可知，逆算子(-Δ)-1:(Ω)∩W2,r(Ω)是有意义的，而且还是线性、连续的。已知f,g是Carathéodory 函数，如果其对应Nemyski 算子[10]仍用f和g表示，由条件（h2）可以得到Nemyski 算子f(x,u,v)和g(x,u,v)从Lr(Ω)×Lr(Ω)到Lr(Ω)×Lr(Ω)是连续的[11]。因此，由W2,r(Ω)到Lr(Ω)嵌入的紧性可以得到K(λ,x,u,v)是全连续的。进一步，由条件（h3）可以得到，当 λ在某闭区间上，有

定义1若(λ,(u,v))∈R×E在几乎处处意义下满足问题（1），那么，本文就说(λ,(u,v))是问题（1）的强解；如果u＞0且v＞0或u＜0且v＜0，本文就说(λ,(u,v))是问题（1）的正解或负解。

定义2如果解集S={(λ,(u,v))∈R×E:(λ,(u,v))满足(1)}中存在序列{(λn,(un,vn))}满足λn→λ∞，‖(un,vn)‖E→+∞(n→∞)，那么，本文就说 λ∞是问题（1）的一个无穷分歧点。

引理1[7]设0 ＜μ1≤μ2≤μ3≤···≤μn≤···是边值问题

的特征值序列，并且φk∈(Ω)表示特征值 μk所对应的特征函数，那么，对于边值问题

有以下结论：

引理2[1]如果条件（h1）—（h3）成立，那么，解集S存在着1 个无界部分Dτ1，并且Dτ1能够分解成2 个子连续统。进一步，在空间R×E中存在着(τ1,∞)的邻域O，使得当(λ,(u,v))∈)∩O且(λ,‖(u,v)‖E)≠(τ1,∞)时，有(λ,(u,v))=λ,α(,+v⊥))，其中，，当α ＞0(α ＜0)且|α|→+∞时，有|λ-τ1|→0且

现定义一些记号。设h(λ,x,u,v)=f(λ,x,u,v)+g(λ,x,u,v)，对于 γ≥0，R+=[0,+∞)，定义：Ω×(0,+∞)×→R和,:Ω×(-∞,0)×以及(x)和(x)如下：

假设1存在0 ≤γi＜2-以及非负函数Bi(x)∈Lr(Ω)，对于i=1,2,3,4,使得

3 主要结果及其证明

定理1如果（h1）—（h3）成立，则存在ε ＞0满足τ±k∉[τ1-ε,τ1+ε](k≠1)，使得当任意的(λ,(u,v))∈S∩Oε时，有u＞0且v＞0或u＜0且v＜0。此外，存在由正解和负解所组成的连续统和⊂S在 τ1处无穷分歧，其中，

证明第一部分的证明。可将空间E分解为

其中

根据文献[7]中的引理4.2 可得，当n→+∞时，|αn|→+∞当且仅当‖(un,vn)‖E→+∞。事实上，由式（10）和式（11）可以得到

其中，“+”和“-”分别表示 αn的符号，并且当n→∞时，αn→∞。

第二部分的证明。因为，τ1是代数单重的，由引理2 可得，存在2 个连续统⊂S和⊂S。由定理1 的第一部分可知，当(λ,(u,v))∈S∩Oε时，有u＞0且v＞0或u＜0且v＜0，于是，取∩Oε，⊂S分别由正解和负解组成。再由引理2 以及分歧的定义可知，和在τ1处无穷分歧。定理1 证毕。

定理2假设（h1）—（h3）成立。

定理3假设（h1）—（h3）成立。

证明由于定理2 和定理3 的证明类似，所以，现只给出定理2 的证明。

上式化简为

将上面2 个式子相加，有

现在分两步来说明式（17）是不正确的。

第一步证明存在，使得下面不等式成立：

第二步说明式（17）是不成立的。

由式（21）并结合Fatou 引理可得

现在需要验证不等式（i），（ii），（iii）。不等式（i）可由Fatou 引理得到，不等式（iii）是本文的假设条件，接下来，说明不等式（ii）成立。设n固定，则由式（20）可得

从而看出（i），（ii），（iii）是成立的，进而得到式(17)与式(23)是矛盾的。于是，定理2 中a 的（a）是成立的。

在定理2 中，关于结论b 的证明，类似地，即对αn＜0以及充分大的n，有

从而可以得到与式（18）～（22）类似的结论。再根据假设式（7），运用Fatou 引理得到与式（21）类似的不等式，进而得到矛盾。这样就完成了定理2 的证明。