涉及小代数体函数的Milloux 不等式

祝笑笑，刘晓俊

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

定义1[1]代数体函数是由不可约方程

所确定的k值解析函数，其中Aj(z)(j=0,1,···,k)是z的全纯函数，并且不在一点同时为零。特别地，当k=1时，W(z)即为亚纯函数；当Aj(z)(j=0,1,···,k)都是多项式时，W(z)为代数函数。

代数体函数的第二基本定理首先由Valiron 在1929 年提出，后来有很多学者给出了详细的证明。下面定理的形式来自文献[2]。

定理1设W(z)={Wt(z)}是{|z|＜R}内由式（1）所确定的k值无重因子代数体函数，并且每个分支Wt(z)不恒为常数值。设at(t=1,2,···,p)是p个不同的复数（有穷或否），则对任意的r∈(0,R)，恒有

若{at}中不含 ∞，由于N(r,W)≤T(r,W)，上式变形成

若{at}中含有 ∞，在上式中可令ap+1=∞，则上式可改写成

对于亚纯函数的第二基本定理，Yang 等[3]曾给出一个涉及导数的推广，从而得到了亚纯函数的Milloux 不等式[4]。之后，何育赞又给出了代数体函数的Milloux 不等式的一种形式。

定理2[1]设W(z)是k值无重因子代数体函数，并令av(v=1,2,···,p)和bj(j=1,2,···,q)为两组有穷异于零且每组内判别的复数，则有

其中，S(r,W)具有余项性质。

定义2[1]设是区域D上的k值广义代数体函数。

a.记W(z)的所有代数体映射之集为YW(D);

b.称广义代数体集合HW(D)={h◦W(z);h∈YW(D)}为W(z)的代数体函数类。

定义3[1]设W(z)是圆盘D={|z|＜R}上的k值代数体函数，记W(z)的所有小代数体函数集合为

定义4[2]设W(z)为代数体函数，则

分别称为W(z)的级和下级。

对于代数体函数的第二基本定理，不久前，孙道椿等[1]把这个结果改进为小代数体函数的情形，得到了小代数体函数的第二基本定理。

定理3[1]设W(z)={Wt(z)}是C上非常数的k值无重因子代数体函数，是W(z)的q≥2个不同的小代数体函数（也可能是小亚纯函数及有限或无限的复常数），则对任意的ε∈(0,1)及r＞0,恒有

其等价形式为

本文主要以定理1 和定理3 为工具，将定理2 的结论改进为涉及小代数体函数的情形，从而得到了下面的结论。

定理4设W(z)是k值无重因子代数体函数，令分别为W(z)和W′(z)的不同的小代数体函数（也可能是小亚纯函数[5]及有限或无限的复常数[6],p,q≥2），则有

推论设W(z)是由式（1）所确定的k值有穷正级整代数体函数[7]，若0,∞,av(z)(v=1,2,···,p)是W(z)的判别有穷的Borel 例外值，bj(z)(j=1,2,···,q)是W′(z)的q个判别有穷的Borel 例外值，且av(z),bj(z)不恒为0 和 ∞，则W(z)为常数。

2 相关引理

引理1[1]设W(z)为k值无重因子代数体函数，则对任意正整数v∈N，它的v阶导数W(v)(z)满足

引理2[4]设W(z)是由式（1）确定的k值代数体函数，则有

引理3[4]设W(z)为k值无重因子代数体函数，则

类似于亚纯函数，定义代数体函数的Borel 例外值。

定义5[9]设W(z)是由式（1）确定的非常数值的有穷正级k值无重因子代数体函数，若对任意的复数b，有

则称b为W(z)的Borel 例外值。

引理4设W(z)是由式（1）确定的非常数值的有穷正级k值无重因子[10]代数体函数，a(z)为W(z)的任意小代数体函数，则

至多有(4k-2)个Borel 例外值[11]，其中 λ为W(z)的级。

证明若存在(4k-1)个Bor el 例外值，满足

结合小代数体函数的第二基本定理[12]（定理3），并由引理3，得

矛盾，证毕。

3 主要结论的证明

定理4 的证明。

对W′(z)和bj(z)(j=1,2,···,q+1)应用定理3 并结合第二基本定理，令bq+1(z)=0，得

对W(z),av(z)(v=1,2,···,p+1)应用定理3 并结合第二基本定理，并令ap+1(z)=0，得

再由Jensen 公式

将式（4）应用于式（6），得

将式（5）与式（7）相加，得

其中，S3(r,W)=S(r,W)+S2(r,W′)。

由引理1 和引理2

将式（9）应用于式（8），得

再对S4(r,W)中各项应用对数导数引理，即得定理4，证毕。

推论的证明。

结合引理1 和引理2 可得

若两种情况同时成立，则结合定理4 可得

矛盾，得证。