3-李-Rinehart代数的结构

2021-01-01 10:47白瑞蒲李晓娟
关键词:线性代数定理

白瑞蒲 李晓娟

摘要:定义了一类新的3元代数结构——3-李-Rinehart代数,并对3-李-Rinehart代数的基本结构进行了研究,用3元任意次可微函数、已知的3-李代数的模及3-李代数的内导子李代数分别构造了3-李- Rinehart代数及李-Rinehart代数.

关键词:3-李代数;交换结合代数;3-李-Rinehart代数

中图分类号:O152.5文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.002

The structure of 3-Lie-Rinehart algebras

BAI Ruipu1,2,LI Xiaojuan1,2

(1. College of Mathematics and Information Science,Hebei University,Baoding Hebei 071002. China;

2. Key Laboratory of Machine Learning and Computational Intelligence of Hebei Province)Baoding Hebei 071002,China)

Abstract:In this paper,we introduce a class of 3-ary algebras,called the 3-Lie-Rinehart algebra,and we discuss the basic structure thereof. The 3-Lie-Rinehart algebras are constructed using 3-ary differentiable functions,modules of known 3-Lie algebras,and inner derivatives of 3-Lie algebras.

Keywords:3-Lie algebra;commutative associative algebra;3-Lie-Rinehart algebra

0引言

1953年,Herz在文献[1]中提到了一类二元代数,且Palais和Rinehart在文献[2-3]中对这类代数的结构做了进一步研究.1997年,Huebschmann将这类代数定义为李-Rinehart代数[4],并对李- Rinehart代数在李代数胚上的作用进行「研究[5-7].2016年,Mandal等定义了Hom-李-Rinehart代数[8],并研究了Hom-李-Rinehart代数的低维扩张问题.2018年,Castiglioni等在文献[9]中研究了李- Rinehart代数的泛中心扩张,并将非交换张量积与泛中心扩张紧密结合起来.

3-李代数的研究受到人们的广泛关注.3-李代数在几何、物理等方面都发挥了重要作用. Yang- Baxter方程的解与局部上循环3-李双代数、Pre-3-李代数、3-李代数的Rota-Baxter算子存在密切关系[10-12].著名的Bagger-Lambert-Gustavsson代数模型就是基于实数域上3-李代数的结构,3-李代数在膜和弦理论中被广泛应用[13-15].本文要将交换结合代数结构、3-李代数结构、3-李代数的模结构以及交换代数的模结构结合在一起,并利用交换结合代数的导子给出模之间的相容性条件,定义一类新的3元代数结构——3-李-Rinehart代数,并对3-李-Rinehart代数的基本结构进行研究.利用实数域上3元任意次可微函数空间及已知的3-李代数的内导子李代数分别构造3-李-Rinehart代数及李- Rinehart代数.

除非特别声明,文章所讨论的代数和向量空间的基域F的特征为零,用A表示F上的交换结合代数,V表示F上的向量空间,对,记<S>为S在V中张成的子空间,R是实数域.

13-李-Rinehart代数的基本结构

3-李代数[16]L是具有线性运算[,,]:L→L的向量空间,满足:∀x,x,x,y,y∈L,

[[x,x,x],y,y]=[[x,y,y],x,x]+[[x,y,y],x,x]+[[x,y,y],x,x].(1)

設L是F上的3-李代数,如果F-线性映射D:L→L满足:∀x,y,z∈L,

D[x,y,z]=[Dx,y,z]+[x,Dy,z]+[x,y,Dz],

则称D是L的导子[16],L的导子全体记为Der(L).

由式(1),对于x,y∈L,左乘映射adx,y:L→L,adx,y(z)=[x,y,z],及其线性组合是导子[16],称为内导子,且满足:∀x,x,y,y∈L,.内导子李代数记为ad(L).

如果F-线性映射满足:∀xi∈L,1≤i≤4,

[ρ(x,x),ρ(x,x)]=ρ([x,x,x],x)-ρ([x,x,x],x),(2)

ρ([x,x,x],x)=ρ(x,x)ρ(x,x)+ρ(x,x)ρ(x,x)+ρ(x,x)ρ(x,x),(3)

則称(V,ρ)是3-李代数L的表示,简称(V,ρ)为L-模[17].子空间称作ρ的核.

由式(1)可知,(L,ad)是3-李代数L的表示,称作3-李代数L的正则表示,其中,ad(x,y)=adx,y,且是3-李代数L的中心.

设G是F上的李代数,A是交换结合代数,(A,ρ)是满足的G一模,G是4一模,且满足[x,az]=a[x,z]+(ρ(x)a)z,ρ(ax)=aρ(x),∀x,z∈G,a∈A,则称(G,ρ)为李-Rinehart 代数[18].若ρ=0,则G叫作李A-代数.

定义1设A是交换结合代数,3-李代数L是A-模,(A,ρ)是满足的L-模,如果

[x,y,az]=a[x,y,z]+(ρ(x,y)a)z,∀x,y,z∈L,a∈A,(4)

则称(L,A,ρ)为弱3-李-Rinehart代数.进一步规定:

1)若ρ是A-模同态,则称(L,A,ρ)为3-李-Rinehart代数,即

ρ(ax,y)=ρ(x,ay)=aρ(x,y),∀x,y∈L,a∈A.(5)

2)若ρ=0,则称(L,A)为3-李A-代数.

由定义1可得,如果S是3-李代数L的子代数,并且对∀a∈A,x∈S,有ax∈S,则是3-李-Rinehart代数,称为3-李-Rinehart代数(L,,A,ρ)的子代数.

如果I是3-李代数L的理想,并且对∀a∈A,x∈I满足ax∈I,则称为3-李-Rinehart代数(L,A,ρ)的次理想.进一步,若ρ(I,L)=0,则(I,A)是3-李A-代数,称为3-李- Rinehart代数的理想.

对于3-李-Rinehart代数(L,A,ρ),记

,,

分别为A关于L的零化子和L关于ρ的中心.由式(4)可得,Zρ(L)为(L,A,ρ)的理想.

定理1设(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代数,则rya,b∈A,xW £J W」W 5 ,下列等式成立:

证明应用式(1)-式⑸进行计算可得结论,过程省略.证毕.

定理2设I和K是3-李-Rinehart代数(L,A,ρ)的理想,则有

1)是3-李-Rinehart代数,其中,

2)I+K和I∩K是(L,A,ρ)的理想.

3)Z(L)是3-李-Rinehart代数(L,A,ρ)的理想,并且Z(A)是A的理想.

证明结论2)和结论3)可由定义直接推得.因为ρ(I,L)=0,所以,按上述定义的有意义,且∀x∈L,1≤i≤4,b∈A,有

因此,是3-李-Rinehart代数,得到结论1).证毕.

定义2设(L,A,ρ)和(L′,A,ρ′)是3-李-Rinehart代数,f:L→L′是3-李代数同态.如果f满足:

f(ax)=af(x),ρ′(f(x),f(y))=ρ(x,y),∀a∈A、x,y∈L,(10)

则称f为3-李-Rinehart代数同态.进一步地,如果f是双射,则称f是同构映射;如果f是满射,并且,则称f为中心满同态.

定理3设(L,A,ρ)和(L′,A,ρ′)是3-李-Rinehart代数,f:L→L′是3-李-Rinehart代数同态.则下列结论成立:

1)是3-李-Rinehart代数(L,A,ρ)的理想.

2)是(L′,A,ρ′)的子代数,且同构于商代数.

3)(L,A,ρ)中包含Ker(f)的子代数与的子代数一一对应,且理想对应着理想.

证明直接应用定义1和定义2可得结论.证毕.

23-李-Rinehart代数的构造

定理4设是实数域上的3元任意次可微函数构成的向量空间,A=L(作为向量空间)按照函数的通常乘法构成的交换结合代数,并且对∀f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)∈L,a(x,y,x)∈A,有,,

则(L,A,ρ)是弱3-李-Rinehart代数,但不是3-李-Rinehart代数.

证明由文献[10]可知L按照式(11)定义的运算构成3-李代数,且是A-模.对∀f,g,h,d∈L,a,b∈A,有,ρ(f,g)(ab)=aρ(f,g)(b)+bρ(f,g)(a),所以ρ(f,g)∈Der(A),

所以(A,ρ)是3-李代数L-模,且(L,A,ρ)是弱3-李-Rinehart代数.

因为对s=x∈A,f=x,g=y,h∈L,有,得(L,A,ρ)不是3-李-Rinehart代数.证毕.

定理5设是实数域上的交换结合代数,

则T按照式(11)定义的运算构成3-李代数,且(T,B,ρ)是3-李-Rinehart代数.

证明进行简单计算可知,T是定理4中3-李代数的子代数,B是交换结合代数A的子代数,由定义1可知,(T,B,ρ)是弱3-李-Rinehart代数.再由式(11)直接计算可知,对∀u,v∈T,a,b∈B,有ρ(au,v)(b)=ρ(u,av)(b)=aρ(u,v)(b),因此,ρ是A-模同态.所以,(T,B,ρ)是3- 李-Rinehart代数.证毕.

下面从已知的3-李-Rinehart代数(L,A,ρ)出发来构造新的3-李-Rinehart代数.

定理6设(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代数,,则(M,A,ρ)是3-李-Rinehart代数,其中∀x,x,x∈L,a,a,a,

证明由式(6)—式⑼可知,M按照式(13)定义的运算构成3-李代数,且M按照A的自然作用是是-模.由式(2)、式(3)和式(13),∀x∈L,a,b∈A,1≤i≤4,有

所以,(A,ρ)是3-李代数M-模.由式(12)和式(14),得到

因此,(M,A,ρ)是3-李-Rinehart代数.证毕.

定理7设(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代数,.则E按式(15)构成A-模,且是3-李-Rinehart代数,其中∀a,b,c∈A,x,y,z∈L,,

证明由式(15)可知E是A-模,且由式(16)定义的3元线性乘法是斜对称的.再由式(8)得到

所以,式(1)成立.因此,E是3-李代数.

由式(17)可得,.对∀x∈L,a∈A,1≤i≤4,有

得到式(2)成立,且是E-模.再由式(16)可得

所以式(4)成立.再由式(17)可知式(5)成立,因而是3-李-Rinehart代数.证毕.

设L是3-李代数,线性空间L∧L上的运算[x∧y,u∧v]=[x,y,z]∧v+u∧[x,y,z]不具有反对称性,因此,L∧L按照上述运算不构成李代数.为此,令J是由张成的L∧L的子空间.在商空间中定义

由式(1)可知,由式(18)规定的运算满足李代数的Jacobi等式.再由式(1),∀x,y,u,v,z∈L,有

得到.所以,((L∧L)/J,[,])构成李代数.

设(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代数.∀x,y∈L,若[x,y,L]=0,则由式(4),∀a∈A,z∈L,有(ρ(x,y)a)z=[x,y,az]-a[x,y,z]=0.得到ρ(x,y)(A)L=0.因此,可定义线性映射

直接计算可知,(A,ρ)是李代数(L∧L)/J-模.

為方便起见,在下面的讨论中,将李代数((L∧L)/J,[,])简记为L∧L,并且∀x,y∈L,简记为x∧y,式(18)可简写为

定理8 &nbsp;  设(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代数,则(L∧L,ρ)是李-Rinehart代数,其中

证明根据定义1,式(19)和式(20),∀b,b′∈A,x,y,z∈L,有

因此,L∧L是A-模.根据式(21),∀x,x,y,y∈L,b∈A,有

并且ρ(b·(x∧y))=b·ρ(x∧y).因此,(A,ρ)是李代数L∧L-模.由式(4)、式(19)和式(20),∀x,x,y,y∈L,b∈A,有

因此,(L∧L,ρ)是李-Rinehart代数.证毕.

设(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代数,(R,A)是3-李A-代数,且由定理8可得,(L∧L,ρ)是李-Rinehart代数.定义的子空间W(L,R,A)如下:

定理9设(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代数,(R,A)是3-李A-代数,则(W(L,R,A),ρ)是李- Rinehart代数,其运算定义为

其中,.

证明由式(20)和式(22)可知,W(L,R,A)按式(23)定义的运算构成A-模.

根据定理8,W(L,R,A)按运算(25)构成李代数.由式(24),,有

所以(A,ρ)是李代数W(L,R,A)-模,并且.又由式(22)和式(25),∀b∈A,.因此,(W(L,R,A),ρ)是李-Rinehart代数.证毕.

33-李-Rinehart代数在3-李A-代数上的作用

定义3设(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代数,(R,A)是3-李A-代数,β:L∧L→Der(R)是-线性映射.如果β和R满足:

(1)(R,β)是3-李代数L-模;

(2)β(ax,y)=β(x,ay)=aβ(x,y),∀a∈A,x,y∈L;

(3)β(x,y)(ar)=aβ(x,y)r+ρ(x,y)(a)r,∀a∈A,r∈R,x,y∈L.

则称β是(L,A,ρ)在(R,A)上的作用.进一步地,如果R是Abel的,即[R,R,R]=0,则称(R,β)是3-李- Rinehart代数(L,A,ρ)-模.

定义4设(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代数,(R,A)和(R,A)是Abel 3-李A-代数,并且(R,β),(R,β)是(L,A,ρ)-模.若A-模同态f:R→R满足:

则称f是从(R,β)到(R,β)的3-李-Rinehart模同态.

定理10设(L,A,ρ)和(L′,A,ρ′)是3-李-Rinehart代数,(R,A)是Abel 3-李A-代数,(R,β)是(L,A,ρ)-模.如果f:L′→L是3-李-Rinehart同态,则(R,β′)是(L′,A,ρ′)-模,通常称(R,β′)为由f诱导的(L′,A,ρ′)-模,其中

证明因为(R,β)是(L,A,ρ)-模,由式(2)和式(3),,有

因此,(R,β′)是3-李代数L′-模.因为f是3-李-Rinehart代数同态,由式(10)和式(25),∀x′,y′∈L′,a∈A,r∈R,得到,,,,..因此,(R,β′)是(L′,A,ρ′)模.证毕.

定理11设(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代数,(R,A)是Abel 3-李A-代数,(R,β)是3-李代数L-模,则(R,β)是(L,A,ρ)-模当且仅当是3-李-Rinehart代数,其3-李代数的运算为

其中x,x,x∈L,r,r,r∈R.

证明设(R,β)是(L,A,ρ)模,因为L和R是A-模,所以也是A-模,并且a(x+r)=ax+ar,∀a∈A,x∈L,r∈R.由式(27)和式(28)可知,是3-李代数,(A,ρ)是3-李代数模,且∀x∈L,r∈R,a∈A,i=1,2,3,有

因此,是3-李-Rinehart代数.

反之,由式(27),∀a∈A,x,x∈L,r,r,r,r∈R,有

所以,并且β滿足定义3.证毕.

推论1设(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代数,(R,β)是(L,A,ρ)-模,则-线性映射和是3-李-Rinehart代数同态,其中π(x+r)=x,i(r)=r,∀x∈L,r∈R.

证明根据定理11可以知道,π和i是A-模同态,且∀x∈L,r∈R,有π[x+r,x +r,x+r]=[π(x+r),π(x+r),π(x+r)],所以π是3-李代数同态.由式(28)可知,ρ(x+r,x+r)=ρ(x,x)=ρ(π(x+r),π(x+r)).因此,π是3-李-Rinehart代数同态.同理,i也是3-李-Rinehart代数同态.证毕.

注1设(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代数,R=L(作为Abel 3-李A-代数),则L的正则表示(R,ad)可能不是(L,A,ρ)-模.但是,如果ρ=0,很显然(R,ad)是(L,A,0)-模.事实上,∀x,y∈L,z∈R=L,b∈A,adz=[bx,y,z]=b·adz+(ρ(y,z)b)x≠b·adz.因此,(R,ad)满足定义3当且仅当ρ=0.

推论2设(L,A,ρ)是3-李-Rinehart代数,(R,A)是3-李A-代数,f:L→R是3-李A-代数同态,即f是3-李代数同态,并且满足f(ax)=af(x),∀a∈A,x∈L,则f诱导了(L,A,ρ)在(R,A)上的作用β,其中,

β(x,y)r=[f(x),f(y),r],∀x,y∈L,r∈R.(29)

证明由式(29),∀x,y∈L,r,r∈R,有

因此,.因为f是3-李A-代数同态,所以

于是,(R,β)是3-李代数L-模,且β(ax,y)r=[f(ax),f(y),r]=a[f(x),f(y),r]=a(β(x,y)r)=β(x,ay)r.

证得β是(L,A,ρ)在(R,A)上的作用.证毕.

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(責任编辑:林磊)

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