重视数学文化 加强学科间渗透与实践应用

广东省惠州市第八中学

纵观2019年的高考数学试题,我们可以发现,这次高考突出了以数学核心素养为导向,将理性思维作为考查的重点目标,将基础性和创新性作为考查的重点要求,重视数学文化,加强了各学科间知识的渗透,强化了数学知识在生活中的实际应用,其实践性与可操作性更强,对学生知识的综合考查也更为全面.

一、重视数学文化

数学文化是人类文化的重要组成部分.数学知识来源于生活实践,经不断地抽象、发展与演绎,提炼总结上升为理论知识,反过来又更好地指导我们的生活实践.我们在数学教学中,要重视数学文化的作用,经常有意识地向学生介绍数学的发展历史及趋势,让学生熟悉数学在人类社会发展中的作用,体会数学的美学价值,感悟数学研究的探索精神[1].在当前高考中,加强数学文化知识的考查,关注当前科学技术的发展,提高学生分析解决问题的能力,已成为考查必然的趋势.

例1(2019年高考全国Ⅰ卷理科第6题) 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )

解析习近平总书记指出“中国传统文化博大精深,学习和掌握其中的各种思想精华,对树立正确的世界观、人生观、价值观很有益处.”中华文化源远流长,古圣先贤的典籍浩如烟海,其中记载的某些先进知识与技术领先西方几百甚至上千年.

本题以我国古代典籍《周易》中描述事物变化的“卦”为背景设置了排列组合试题,体现了中国古代的哲学思想.它主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型的问题,渗透了对数学文化的考查及逻辑推理、数学运算等数学素养.如果学生平时关注数学文化,尤其是中华传统文化,了解有关“卦”符的知识,知道“太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦”[2],清楚“卦”符一共有64 卦,则可通过大致的书写,很轻松就可得到恰有3个阳爻的有20 种,迅速得到答案当然,如果对“卦”符不熟,我们也可在认真理解清楚题意的基础上,利用排列组合的知识进行求解.

详解依题可知,“重卦”中每一爻有2 种情况,一重卦的6 爻有26种情况,其中6 爻中恰有3个阳爻情况有C36,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为故选A.

图2

例2(2019年高考全国Ⅱ卷理科第16题) 中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图2(左)).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2(右)是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有____个面,其棱长为____.

解析本题立意新颖,不少同学看到此题时数学兴趣大增.它把我们平时在一些影视作品里所看到的印信实际化为一道题,让人倍感新奇,渗透直观想象、数学抽象与数学建模,促使学生关注生活实例,将数学文化在无形中渗入学生心田.题目本身其实很简单,但是空间想象能力要求较高,物体位置还原是关键,将立体几何平面化,即可快速还原图形求解.

详解由图3可知第一层与第三层各有9个面,合计18个面;第二层有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图3,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长BC与FE延长线交于点G,与正方体棱交于点H,由半正多面体对称性可知,ΔBGE为等腰直角三角形.因此BG=GE=所以即该半正多面体棱长为

图3

例3(2019年高考全国Ⅱ卷理科第13题) 我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____.

解析如果说前面的几道题侧重于对古代文化知识的考查,这道题则要求学生关注现实社会和经济的发展,做到通晓古今,活学活用数学文化知识.本题考点为概率统计,侧重统计数据的概率计算,渗透数学运算与数据分析等数学素养.

详解依题可得,经停该站的高铁列车正点车次数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2,其中高铁列车车次总数为10+20+10=40,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率约为

反思与策略我们要指导学生夯实数学基础知识,重视数学文化,关注科技发展前沿.作为教师,要经常有意识地向学生介绍数学的发展历史及趋势,穿插介绍一些数学名题.历史上的数学名题往往蕴含着丰富而生动的人文背景,对数学的发展及教学都起过非常重要的推动作用.比如“兔子问题”(1240年斐波那契《计算之书》)、“正方形筛子问题”(1934年孟加拉人僧德拉姆发现) 等等[1].教师在授课时与学生一起探究这些数学名题,并结合当前科技的发展,编制一些例题,不断强化学生数学抽象、数学建模与数学运算的数学素养,提高分析解决问题的能力.

二、加强学科间知识的渗透

随着高考改革的深入,各学科间的界限逐渐变得模糊,各学科间知识的联系越来越紧密.我们要能指导学生将各科知识融会贯通,综合应用,才能在高考中立于不败之地.

例4(2019年高考全国Ⅱ卷理科第4题) 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:设由于α的值很小,因此在近似计算中则r的近似值为( )

解析乍一看这么长的题干,里面又有那么多的物理名词,不少同学望而生畏,顿时蒙圈:这究竟是在考数学,还是在考物理?但如果学生的物理知识掌握得比较好的话,见到这些诸如牛顿运动定律、万有引力定律等常见的物理名词也就不会发慌,并能快速镇定求解.经过认真研读题目之后,我们会发现,其实这道题真正要考查的不过是数学式子的变形及运算求解而已,是一道典型的数学题.

详解由可得r=αR.因为所以即解得所以故选D.

反思与策略我们要指导学生强化学科间的知识渗透,综合运用多学科知识.数学与诸多学科都能够发生联系,这也正是数学文化价值的一种体现.当前数学与其他学科的界限在逐渐减弱,尤其是与物理、化学、生物等学科间的知识渗透更加明显[3].比如物理上的力与功的计算,化学上的混合物间的物质的量的求解,生物学中的遗传问题等,都蕴含了函数与方程、向量、排列组合等知识.如果学生缺乏相关的知识,不能做到融会贯通,在解题时必然受挫.

三、强化实践应用

数学知识来源于生活,更要服务于生活.今年的高考题充分结合了数学知识与现实生活实践,进一步强化了数学知识在现实生活中的应用,引导学生尝试用所学的知识去解决现实问题,提高知识的应用能力.

例5(2019年高考全国Ⅰ卷理科第4题) 古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )

A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm

解析黄金分割是我们所熟知的知识,但如何应用这个知识来解决现实生活中的问题?这道高考题给了我们很好的指导与方向性的作用.

详解设此人脖子下端至肚脐的长为xcm,肚脐至大腿根的长为ycm,则解得x≈42.07cm,y≈5.15cm,又此人腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,所以其身高为26+x+y+105≈26+42.07+5.15+105=178.22(cm),接近175 cm.故选B.

图4

例6(2019年高考全国Ⅰ卷理科第15题) 甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束) ．根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:1 获胜的概率是____.

解析现实生活中有很多比赛,我们平时几乎只关注比赛结果,很少去研究比赛的胜负可能出现的情况,更甭提用所学的统计概率、排列组合等知识去研究比赛.

详解前四场中有一场客场输,第五场赢时,甲队以4:1 获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108; 前四场中有一场主场输,第五场赢时,甲队以4:1 获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072.

综上所述,甲队以4:1 获胜的概率是0.108+0.072 =0.18.

例7(2019年高考全国Ⅰ卷理科第21题) 为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分,乙药得-1 分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1) 求X的分布列;

(2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分,pi(i=0,1,···,8) 表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=0,1,···,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.

(i) 证明:{pi+1-pi}(i=0,1,···,7) 为等比数列;

(ⅱ) 求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

解析该题把一个实验过程作为考题,要求学生在全面理解实验操作过程的基础上进行求解,其阅读理解能力与实践应用要求更高.学生如果平时没有训练过或做过此类的研究性课题,面对此类题可能会束手无策,丢分也就无法避免了.更为详尽的解析请读者参考[4].

反思与策略我们要指导学生加强实践应用,积极参与研究性学习.教材里面有大量的阅读材料、应用问题、实习作业以及研究性学习课题,供学生实践研究,以期能更有效地培养学生的兴趣,增强探究意识,解决现实生活中的一些问题.当我们在教学或复习完相关章节或知识点后,可以相应地布置一些研究性课题[5](如表1所示),让学生尝试应用所学的知识,培养数学抽象与数学建模的能力,提高数学知识的实践应用能力.

表1 研究性课题

四、小结

总之,2019年的高考题给我们的学生提出了更高的能力要求.作为教师,我们需要更好地引导学生重视数学文化,关注社会生活与科技发展,加强各学科间的渗透教学,将知识融会贯通,同时通过开展研究性课题活动,提高实践应用能力,争取在高考中取得优异的成绩.