切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的设计及实现*

陈绍荣，刘郁林，朱行涛，徐 舜

（1.陆军工程大学通信士官学校，重庆 400035；2.重庆市经信委，重庆 400015）

0 引 言

在国内外《数字信号处理》著作[1-3]中，介绍了归一化巴特沃斯模拟低通滤波器的设计方法及归一化切比雪夫Ⅰ型模拟低通滤波器的设计方法。巴特沃斯模拟低通滤波器的幅频特性，无论在通带和阻带都是随频率单调递减，若在通带边缘满足指标要求，则在通带内肯定会有富裕量，也就是会超过指标的要求，因而并不经济，故更有效的办法是将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀地分布在阻带内，或同时均匀地分布在通带、阻带内。这时就可以设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀地分布的办法可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。切比雪夫模拟低通滤波器的幅度特性就是在一个频带（通带或阻带）范围内具有这种等波纹特性。一种是通带范围内为等波纹，阻带范围内为单调递减函数，称为切比雪夫Ⅰ型，一种是阻带范围内为等波纹，通带范围内为单调递减函数，称为切比雪夫Ⅱ型。在应用中，应根据要求来确定采用哪种类型的切比雪夫模拟低通滤波器。在《数字信号处理》著作[4]中，虽然介绍了归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的设计方法，但是推导过略，不便于理解，而且给出的确定归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的转移函数公式有误，本文在《数字信号处理》著作[5]基础上，详细介绍归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的设计方法，基于归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器来设计切比雪夫Ⅱ型模拟高带通滤波器的原理、步骤及方法。

1 切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的设计

1.1 归一化切比雪夫多项式

归一化切比雪夫多项式定义为：

（1）当|λ|≤1 时，由式（1）可知：

①当n=0 时，由式（2）可得：

②当n=1 时，由式（2）可得：

③当n ≥1 时，在式（2）中，令λ=cosθ，可得：

由于：

考虑到式（5），由式（6）可得：

由式（7）可得递推公式：

（2）当|λ|≥1 时，由式（1）可知：

①当n=0 时，由式（9）可得：

②当n=1 时，由式（9）可得：

③当n ≥1 时，在式（9）中，令λ=coshθ，可得：

由于：

考虑到式（12），由式（13）可得：

由式（14）可得与式（8）相同的递推公式，即：

当n ≥1 时，由递推式（8）或递推式（15），并考虑到式（3）及式（4）或（10）及式（11），可以得到：

现将计算的结果制成表格，如表1 所示。

表1 归一化切比雪夫多项式表

由表1 可知，归一化切比雪夫多项式Cn(λ)是λ的n 次多项式，并且，首项为2n-1λn。当|λ|≤1 时，Cn(λ)在-1 至-1 之间波动变化，当|λ|>1 时，Cn(λ)按双曲余弦单调递增。

1.2 归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器极点分布的特点

切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的幅频特性平方函数定义为：

式中，Ωp为通带上截止角频率，Ωst为阻带下截止角频率；n 为切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的阶数；ε 为常数，并且0<ε<1。

当Ω=Ωp时，由式（20）可得：

令

考虑到式（23），则式（20）可写成：

由式（24）可得：

若对切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的角频率作归一化处理，由式（20）可知，则归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的幅频特性平方函数可写成：

式中，λ=Ω/Ωp为归一化角频率，λs=Ωst/Ωp。

考虑到式（26），则有：

由式（27）可知，HL(p)HL(-p)除了有2n个极点外，还有2n 个零点。

令：

即：

亦即：

由式（30）可得HL(p)HL(-p)的零点，即：

式中，r=0,1,2,…,2n-1。

式（31）表明，HL(p)HL(-p)的零点分布在在p平面的虚轴上，若n 为奇数，当2r+1=n 时，则有pr=j∞，即HL(p)HL(-p)在p 平面虚轴上无穷远处有一个零点。

令：

由式（32）可得：

定义φ=arccos(jλs/p)，则有：

显然，φ 应是复数。为此，令φ=φ1+jφ2，则有：

考虑到式（36），则有：

由式（37）可知cos(nφ1)=0，于是：

将式（39）代入式（38），则有：

由式（39）及式（41）分别可以得到φ1及φ2，将φ1及φ2代入式（35），得到HL(p)HL(-p)的极点，即：

式中，l=1,2,3,…,2n。

如果令pl=σl+jλl，考虑到式（42），则有：

显然cosh φ2>sinh φ2，因此椭圆的焦点在p 平面的虚轴上。

式（43）表明，归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器极点pl的实部和虚部满足椭圆方程，即极点pl落在椭圆上。

由式（42）求出2n 个极点pl，一半属于HL(p)，一半属于HL(-p)，为保证所设计的归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器是稳定系统，应将p 平面左半面的极点赋于HL(p)。

若规定φ2>0，l=1,2,…,n，则由式（42）可以得 到HL(p)的n 个 极 点pl(l=1,2,…,n)。由式（27）可知，HL(p)HL(-p)的分子和分母分别为和由 于是 常 数，因 此，由表1 的归一化切比雪夫多项式可知，HL(p)HL(-p)的分子和分母均是jλs/p 的2n 次多项式，并且最高幂次项均为[2n-1(jλs/p)n]2。换言之，由于描述HL(p)HL(-p)的分子和分母的2n 次多项式的变量为jλs/p，而且最高幂次(jλs/p)2n的系数相同，因此，归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的转移函数可表示成：

式中，pr(r=0,1,2,…,n-1)及pl(l=1,2,…,n)分别为归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的转移函数的零点和极点。

1.3 切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的设计步骤

（1）将角频率作归一化处理，得到归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器幅频特性平方函数。

（2）确定归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器涉及的常数ε 及阶数n。

考虑到式（26），则衰减函数α(λ)可表示成：

设Ω=Ωp，即λ=λp=Ωp/Ωp=1 时，通带允许的最大衰减为αp，考虑到式（45），则有：

设Ω=Ωst，即λ=λs时，阻带应达到的最小衰减为αs，考虑到式（45），则有：

考虑到式（46），由式（48）可得：

由式（49）可得：

这样，首先利用式（46）求出常数ε，再利用式（49）计算出a2值，最后利用式（50）就可求出归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的阶数n。

（3）利用式（31）、式（42）及式（44），可求出归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的转移函数HL(p)。

（4）作逆归一化处理，即令p=s/Ωp，可从归一化的切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的转移函数HL(p)得到切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的转移函数H(s)，即：

2 切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的设计及实现

可以通过频率变换的方法，基于归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器来完成切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的设计，其设计过程，如图1 所示。

图1 切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的设计过程

2.1 归一化切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器到模拟低通滤波器的频率变换公式

归一化切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器及模拟低通滤波器的幅频特性，分别如图2 及图3 所示。

图2 归一化切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的幅频特性

图3 归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的幅频特性

为了保证频率变换后，两个归一化的幅频特性|HG(jη)|和|HL(jλ)|，在通带内和阻带内的衰减dB 数相同，各频率点的对应关系，如表2 所示。

表2 归一化切比雪夫Ⅱ型模拟高通与低通滤波器幅频特性各频率点的对应关系

由表2可知，归一化角频率λ 与η 满足下述关系：

考虑到式（52），则|HL(jλ)|中对应的复变量p=jλ 与|HG(jη)|中对应的复变量q=jη 满足下述关系：

于是，作逆复频率变换，可得归一化切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的转移函数，即：

由于：

基于式（55），作逆归一化处理，并注意到式（54），可得切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的转移函数，即：

式（56）表明，可将逆复频率变换和逆归一化处理两个步骤，合为一步完成便可。

2.2 利用归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器设计切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的步骤

（1）将待设计的切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的通带下截止角频率和阻带上截止角频率作归一化处理，可得：

（2）利用式（52）作频率变换，并考虑到频率点的对应关系，则有：

因此，λp=1 可直接给出，而αp、αs保持不变；其中，αp、αs分别为待设计的切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器通带允许的最大衰减及阻带应达到的最小衰减。

（3）按要求设计归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器，得到HL(p)。

（4）利用式（54）作逆复频率变换，得到归一化切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的转移函数HG(q)。

（5）利用式（56）作逆归一化处理，得到切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的转移函数H(s)。

2.3 切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的设计举例

例：切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的技术指标为：通带下截止角频率Ωp=5×106rad/s，通带最大衰减αp=101g(8 194/4 225)dB，阻带上截止角频率Ωst=4×106rad/s，阻带最小衰减αs=12 dB。

试按下述要求，完成该模拟高通滤波器的设计。

（1）设计归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器。

（2）若取Ωp=4×106rad/s，对（1）的结果作逆归一化处理，即令p=s/Ωp，写出相应的切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的转移函数，并画出实现电路。

（3）基于（1）的结果，写出所设计的切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的转移函数，并画出实现电路。

解：（1）设计归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器

①将待设计的切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的通带下截止角频率和阻带上截止角频率作归一化处理

因为Ωp=5×106rad/s，Ωst=4×106rad/s，所以ηp=1，ηs=Ωst/Ωp=0.8。

②作频率变换，考虑到式（57）及式（58），则有：λp=1/ηp=1，λs=1/ηs=5/4

并且，αp=101g(8 194/4 225)dB；αs=12 dB。

③确定归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器涉及的常数ε 及阶数n

由式（46）可得：

由式（61）可得：

将αs=12 dB 及式（61）代入式（49），可得：

由式（63）可得：

设：

由式（65）可得：

由式（66）可得一元二次方程，即：

解得：

考虑到式（68），则有：

将式（64）代入式（69）可得：

同理，当λs=5/4 时，由式（69）可得：

将式（70）及式（71）代入式（50），可得：

由式（72）可知，取：

④确定归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的转移函数HL(p)

将λs=5/4，式（62）及式（73）代入到式（41），可得：

考虑到：

将式（74）代入式（75）可得：

考虑到式（69），由式（76）可得：

考虑到式（77），则取：

考虑到式（78），则有：

将λs=5/4，式（73）、式（79）、式（80）及式（81）代入式（42），则有：

由式（82）可得极点：

将λs=5/4，式（73）代入式（31），则有：

由式（86）可得零点：

将式（83）、式（84）、式（85）、式（87）、式（88）及式（89）代入式（44），可得归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的转移函数HL(p)，即：

（2）考虑到式（90），由式（51）可得切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的转移函数，即：

考虑到式（91），则描述切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的信号流图，如图4 所示。

图4 切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的信号流图

依据图4 所示的信号流图，则利用电阻、电容及运算放大器来实现切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的电路图，如图5 所示，其中，R1=100 kΩ，R2=R4=200 kΩ，R3=80 kΩ，R5=R6=R7=100 kΩ，R8=50 kΩ，Rp2=2.1 kΩ，Rp3=2 kΩ，Rp4=1.5 kΩ。

图5 实现切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的电路图

（3）考虑到式（56），可得所设计的切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的转移函数，即：

下面检验所设计的切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减是否满足技术指标要求。

考虑到式（92），则切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的频率特性为：

由式（93）可得：

由式（94）可得：

由式（93）可得：

由式（96）可得：

因此，所设计的切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减满足技术指标要求。

其实，式（92）可写成：

考虑到式（98），则所设计的切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的信号流图，如图6 所示。

依据图6 所示的信号流图，则利用电阻、电容及运算放大器来实现切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的电路图，如图7 所示，其中，R1=30 kΩ，R2=150 kΩ，R3=100 kΩ，R4=50 kΩ，R5=300 kΩ，R6=R8=50 kΩ，R7=100 kΩ，Rp2=5 kΩ，Rp3=Rp4=10 kΩ。

图6 切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的信号流图

图7 实现切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的电路图

3 结 语

本文介绍了归一化切比雪夫多项式及其递推公式，归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的极点分布的特点，确定归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的零极点和转移函数的公式，设计归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器的步骤；再介绍了利用频率变换来设计切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的方法；最后给出了基于归一化切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器来设计切比雪夫Ⅱ型模拟高通滤波器的实例。