基于线性规划的水资源优化配置

张志鹏

（河海大学水利水电学院，江苏 南京 210098）

0 引言

水资源是人类社会发展进步的物质基础，也是生态系统维持稳定的基石[1]。随着城市化的快速发展，城市水资源供需矛盾日益加剧，水资源优化配置方面的相关研究显得尤为必要[2]。对水资源配置的优化是将水资源的空间存储位置和分配规则进行调整，提高水资源整体的利用效率和经济效益[3]。

针对水资源的优化配置模型，国内外许多学者都进行了一定的研究。水资源配置问题在20 世纪40 年代就被提出，最开始被应用于解决水资源供需矛盾[4]。在之后的研究过程中线性规划、动态规划和多目标规划不断得到应用，丰富了水资源优化配置的理论。Afza 等[5]针对巴基斯坦某地区的灌溉系统建立了线性规划模型,并验证了模型的准确性,指出通过该模型进行的水资源分配可较传统方法所需水量大幅度降低。娄帅等[6]在漳河流域建立水资源优化配置的免疫遗传算法模型,最终确定了最优水资源配置方法。佟婧芬[7]基于动态规划算法对水资源优化配置进行研究，得出动态规划算法在水资源优化配置中应用较好,可为同类地区水资源配置方案设计提供参考借鉴。基于上述学者的研究，本文借助线性规划模型对现有的供水问题实例进行求解分析。

1 水资源优化配置的涵义

水资源的优化配置，包括两方面的涵义：一方面，在水资源短缺的区域，是指对各行业、各部门之间进行合理的用水分配，使用水达到区域效益最高，从而保证区域协调、健康的发展；另一方面，在水资源丰富的区域，是指对本区域内的产业结构进行宏观调控，以充分提高各行业、各部门对水资源的利用效率。以上两个方面，是水资源优化配置作为保障水资源可持续利用的重要内容。

在水资源的系统分析中，要实现用有限的水资源最大限度的满足各用水部门的需求，使各用水部门取得最好的经济效益、社会效益和环境效益。这从数学观点而言，就是指在满足各种约束条件下，对水资源系统数学模型中的目标函数进行最优化处理（求最值的方法），如果这里的目标函数和所有的约束条件都是线性的，这种最优化问题就是线性最优化，即水资源系统线性规划，常用数学中的线性规划法求解。

2 线性规划方法

2.1 线性规划简介

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、方法较成熟和应用最广泛的一个分支，它是研究如何合理调配和有效使用现有的人力、物力等资源，以达到最优目标（多、快、好、省）的一种数学方法。因此，线性规划就是求一组变量（决策变量）的值，使它们满足一组线性等式或不等式的限制条件（约束条件），并使一个线性函数（目标函数）的值最大（或最小）的方法。线性规划建模简单，并且有通用的算法（单纯形法）和计算机软件进行计算，因此这种方法已广泛应用于资源分配、投资组合、交通运输、生产管理、军事通讯和营养调配等众多领域。

2.2 线性规划模型

线性规划模型的特征是：（1）有一组决策变量；（2）有一组线性约束条件，它们是线性等式或不等式；（3）有一个确定的目标，这个目标可以表示成决策变量的线性函数，根据问题的不同，有的需求最大值，有的需求最小值。由此可见，一个线性规划问题的数学模型，必须含有三个要素：决策变量、约束条件和目标函数。

因此，建立线性规划模型的步骤为：

（1）根据所要达到的目的找到决策变量，并用数学符号表示它们；

（2）由决策变量所受的限制条件，确定决策变量所要满足的约束条件（线性方程或线性不等式）；

（3）根据所要达到的目的和决策变量，列出关于决策变量的线性目标函数。

线性规划的数学模型可表示如下：

求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法，单纯形法是求解线性规划问题的基本方法。

3 线性规划模型在水资源优化配置中的应用

3.1 利用线性规划求解输水费用最小问题

甲、乙两个水厂向某城市输送生活、农业和工业用水，甲水厂的月供水量400 万m3，乙水厂的月供水量780 万m3，该城市生活用水的月需求量不低于200 万m3，农业用水的月需求量不低于450 万m3，工业用水的月需求量不低于400 万m3。由于各种用水的输水距离和输水条件不同，故输水费用也不同，甲水厂的生活用水的输水费用为6 千元/万m3，农业用水的输水费用为3 千元/万m3，工业用水的输水费用为5 千元/万m3；乙水厂的生活用水的输水费用为5 千元/万m3，农业用水的输水费用为9 千元/万m3，工业用水的输水费用为6 千元/万m3。试设计在满足各种用水需要的条件下，月输水费用最小的方案。

为了使问题更加清晰，将上面的水资源优化问题用表格的形式展现，具体内容见表1。

表1 供水信息表

针对上面的月输水费用最小问题，建立的数学模型如下：

设甲水厂向该城市输送生活、农业和工业用水的月供水量为x11，x12，x13，乙水厂向该城市输送生活、农业和工业用水的月供水量为x21，x22，x23，以x11，x12，x13，x21，x22，x23为决策变量。

（1）目标函数的确定

求月输水费用最小的方案应选月输水费用最小为目标函数，即minZ=6x11+3x12+5x13+5x21+9x22+6x23。

（2）约束条件的确定

并满足各种用水的月需水量要求，即：

且各水厂的月供水量应小于或等于水厂的月供水能力，即：

水厂向各区供水量应大于或等于0，即：

使用求解线性规划问题，得到：

这时候得到输水费用最小，为5650 元/万m3。

3.2 利用线性规划求解供水效益最大问题

某库区年供水能力为6500 万m3，其任务是向A、B、C 三农业区灌溉供水，因为库区距离各农业区的输水距离不同，库区对各农业区的输水条件也不同，所以库区向不同的农业区供水的成本和价格不一样，故供水的利润也不一样。各农业区的年需水量、供水的水价、水厂的供水成本、最小供水量见表2。试设计最佳供水方案，使得在满足各农业区需水的条件下，该库区的供水效益最大。

为了使问题更加清晰，我们将上面的水资源优化问题用表格的形式展现，具体内容见表2。

表2 供水信息表

针对上面的月输水费用最小问题，建立的数学模型如下：

A、B、C 三农业区的年需水量为决策变量，设为x1，x2，x3。

（1）目标函数的确定

根据三农业区的年需水量要求以及水价和成本来确定最优分配方案，可确定供水效益最大为目标函数，即maxZ=（2.8-1.5）x1+（0.6-0.25）x2+（2.0-0.6）x3。

（2）约束条件的确定

三农业区的年总需水量应小于等于水厂年总供水量，即：x1+x2+x3≤6500；

三农业区的最大需水量限制为：x1≤3000；x2≤5000，x3≤1000；

三农业区的最小需水量应大于等于0：x1≥0，x2≥0，x3≥0。

利用Microsoft Excel 规划求解工具进行求解，可求得供水效益最大为5700 万元，达到最大效益时，A、B、C 三区的年需水量分别为：x1=2500 万m3，x2=3000 万m3，x3=1000 万m3。

4 结论

（1）通过水资源优化配置的介绍和基于线性规划模型优化配置水资源实例分析得出：利用线性规划法处理水资源优化配置问题，建模过程简单，求解过程容易，能大大的简化水资源配置问题。

（2）线性规划模型只能解决较为清晰简单的目标问题。如果目标函数或约束条件中存在非线性方程或存在多目标间相互矛盾，往往还需要结合非线性规划法、动态规划法等方法，存在一定的局限性。

（3）水资源优化配置的基本理论和方法有很多种，但在实际的问题解决上，要选用最适合的方法进行实际问题分析。这样可以最大限度的实现水资源的优化配置，最大限度的利用有限的水资源。