巧用最值去绝对值妙解题

王书坤 王鹏

摘要：含绝对值的函数题往往呈现出题型变化多，分类讨论情况复杂，运用知识综合性强等特点，在近年来的高考中，常常作为压轴题出现。去绝对值，是解决此类问题的关键。本文对一道高三试题进行例析，通过三种解法从多角度解决绝对值问题。

关键词：绝对值;函数;最大值

中图分类号：G633.64 文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）23-039

绝对值问题是高考数学题的一个热点和难点。它常常与方程和函数相结合，考查学生解决问题的综合能力。与之相关的数学方法有數形结合，分类讨论，转化与化归等。在理解函数、最值和绝对值的概念的基础上，熟练地掌握数形结合，分类讨论，转化与化归等数学方法，能够帮助我们找到绝对值问题的突破口。

点评：解法3利用函数的特殊特征，将二次函数问题转化为一次函数进行解决，简化了问题，从而直接对a进行讨论，应用了参变量分离的方法，解题过程最短。波利亚说过：如果你不能解所提的题目，你应该创造一道相关题目，要达到这一目标有不同的方法，如普遍化、特殊化、类比以及其他分解和重组的各种方法。[2]本题中解法3运用参变量分离，使问题转化为更容易着手的问题。

上述三个解法各有利弊，考生应该在巩固并熟练掌握解法一，加深对解法二、解法三的理解与运用，解题时做到既有速度，又有准确度。解法二在对解法一的基础上，运用函数的零点的性质和函数图像的特征，求出零点的取值范围，从而求出参数的取值范围。解法二比解法一省去了一些讨论的情形，简便了不少。解法三最为巧妙，利用函数解析式的特征将函数解析式转化，再进行参变量分离，是三种方法里解题步骤最少的。这里需要考生仔细观察函数解析式的特征，从而找到最快的解题方法。

本题主要考查函数最大值的概念、二次函数的图像与性质、函数的单调性、绝对值不等式的性质等基础知识，同时考察分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法。分类讨论要注意分类原则：（1）所讨论的全域要确定，分类要“既不重复，也不遗漏”;（2）在同一次讨论中只能按所确定的一个标准进行;（3）对多级讨论，应逐级进行，不能越级;（4）总结概括，得出结论。[1]在解决含绝对值的函数题时，我们通常利用绝对值不等式的性质进行分类讨论，结合函数图像，运用数形结合、函数、方程及不等式的思想方法简化问题，使问题条理清楚，便于求解。通过对一题多解的探究与比较，不仅使我们更加清楚的认识问题的本质，还启发我们从多角度思考问题，提高综合运用知识的能力，熟练掌握解题技巧。

参考文献：

[1]陈亚娟.例谈高考中绝对值问题的解题策略[J].中学数学·高中版，2017（03）.

[2]G·波利亚.怎样解题[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

（作者单位：淮安市金湖县第二中学①，江苏 淮安223001;扬州工业职业技术学院②，江苏 扬州225000）