平面齿轮副的约束及自由度计算

朱玉泉 ,于景华

(1.朔州市农业机械服务中心 农机安全监理所，山西 朔州 036002；2.中北大学朔州校区 能源与机械工程系，山西 朔州 036002)

0 引言

齿轮机构是我们常用的一种机构，齿轮副在平面机构自由度计算时常按照一个高副提供一个约束计算，忽略了两个高副的情况，因此常常出错。本文结合工程实例对齿轮副约束情况进行分析，得出齿轮副引入一个高副和两个高副的条件，为正确计算含齿轮副机构的自由度提供参考。

1 含齿轮机构自由度计算时出现的问题

平面机构自由度F计算公式为[1]：

F=3n-(2pl+ph-p′)-F′.

(1)

其中：n为活动构件数目；pl为低副数目；ph为高副数目；p′为虚约束数目；F′为局部自由度数目。

图1为两种周转轮系[2]。在两种周转轮系中都有两个齿轮副，即1与2和2与3。两个周转轮系自由度都为1，但在用公式(1)计算自由度时，出现下面的结果：

(1) 图1(a)周转轮系中，1、3为太阳轮，2为行星齿轮，4为系杆。活动构件数目n=3，低副数目pl=3，高副数目ph=2，则自由度F=3×3-(2×3+2)=1。

(2) 图1(b)周转轮系中，齿轮2与3之间没有系杆，活动构件数目n=2，低副数目pl=1，高副数目ph=2，则自由度F=3×2-(2×1+2)=2。

通过以上计算可知，图1(b)用公式(1)计算出的自由度与实际自由度不符，分析其错误原因就在于齿轮副中齿轮1与2和 2与3之间都是按照中心固定，一个齿轮副引入一个高副计算，忽略了图1(b)中齿轮2中心不固定，齿轮副是两个高副的情况。因此计算自由度时齿轮副引入一个还是两个高副约束要看齿轮副的接触形式，下面从齿轮副的接触形式分析约束情况。

2 齿轮副引入约束的判断

齿轮接触分为单侧接触和双侧接触，单侧接触为有侧隙啮合，双侧接触为无侧隙啮合，如图2所示。所谓侧隙是指两个相互配合的齿轮工作面接触时， 相邻的两个非工作齿间形成的间隙。齿轮啮合传动时，为了在啮合齿廓之间形成润滑油膜，避免因轮齿摩擦发热膨胀而卡死，齿廓之间必须留有间隙，此间隙即为侧隙。当两轮轮齿做有侧隙啮合时，两轮轮齿单侧接触，非工作侧齿廓之间存在间隙，此齿轮副应该算1 个高副，即它提供1 个约束[3]。当两轮轮齿做无侧隙啮合时，轮齿的两侧都参加接触，且接触点的公法线方向并不彼此重合，此齿轮副应该算2个高副，即它提供两个约束。齿轮副有、无侧隙啮合与中心距有关，当构成齿轮副的两齿轮中心距可变化，这时齿轮做无侧隙啮合提供两个约束，齿轮副为两个高副；当构成齿轮副的两齿轮中心距受其余构件约束，齿轮做有侧隙啮合，齿轮副为一个高副。

图2 齿轮啮合示意图

3 平面齿轮副的低副代替机构

为了进一步说明有侧隙和无侧隙齿轮副的约束实质，分别对以上齿轮副进行高副低代[4]。高副低代要求：①替代前后机构的自由度不变；②原有构件的运动参数不变。代替方法为:用处于两构件接触点曲率中心的两个低副和其间的虚设构件代替原来的高副。因此有侧隙啮合时引入一个高副约束，用一杆两转动副代替，如图3(a)所示。其中，o1、o2分别为两齿轮的中心，N1、N2分别为两轮齿接触点处渐开线的曲率中心，N1N2之间的杆和两个转动副代替齿轮高副。无侧隙啮合时引入两个高副约束，用一个转动副代替，如图3(b)所示，这样在无侧隙啮合时齿轮副可直接按照一个低副计算。

图3 平面齿轮副的低副代替机构

4 验证计算

根据以上方法对图1轮系再一次进行自由度计算。

(1) 图1(a)中，齿轮2与3之间有系杆，活动构件数目n=3；齿轮2与3之间的系杆固定了中心距，因此齿轮1与2和2与3之间都按高副引入一个约束计算，即Pl=3、Ph=2，则自由度F=3×3-2×3-2=1。

(2) 图1(b)中，齿轮2与3之间没有系杆， 活动构件数目n=2；齿轮2与3互相约束，中心距可以变化，齿轮做无侧隙啮合，齿轮副按照两个高副引入两个约束的低副计算，即Pl=2；齿轮2与3之间互为约

束，齿轮1为机架，因此齿轮1与2之间中心距不可变，齿轮做有侧隙啮合，为一个高副，即Ph=1，则自由度F=3×2-2×2-1=1。

以上计算结果与实际自由度值相符，验证了此方法计算齿轮机构自由度的正确性。

5 结论

本文通过实例分析得出齿轮副引入一个还是两个高副的条件：当两齿轮中心距已经通过构件或运动副确定，齿轮副则按照引入一个约束有两个自由度的高副计算；当中心距不确定，需要通过齿轮副本身提供的约束确定时，齿轮副按照引入两个高副计算，即相当于一个低副。这样我们在计算含齿轮机构自由度时只要定出两齿轮的中心距是不是固定，就可以知道其提供的约束，可使自由度的计算更为方便。