探究椭圆中斜率和为定值的两条直线的性质

李火星

摘要：本文以直线和椭圆相交问题为引例，深入探究过椭圆上的点做两条斜率和为定值的两条直线所具有的性质。

关键词：椭圆;斜率;定值;定点

圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点，高考每年必考。考察形式多样化，如定点、定值、相切等等问题。本文以直線和椭圆相交问题为引例，深入探究过椭圆上的点做两条斜率乘积为定值的两条直线所具有的性质。

引例 已知椭圆E：x2 a2+y2 a2=1（a>b>0）的左右焦点F1，F2与短轴的一个端点构成直角三角形，且直线l：y=- 2  2x+ 2 与椭圆有且只有一个公共点。

（1）求椭圆E的方程;

（2）设A是椭圆的下顶点，过点A分别做直线AM，AN交椭圆E于M，N两点，记这两条直线的斜率分别为k1，k2，并且两斜率之和为定值2，证明直线MN过定点，并求出该定点坐标。

分析：易求得第一步椭圆方程为x2 2+y2=1，第二小步是直线与椭圆相交的类型，故假设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆方程利用韦达定理可得到两根之和及两根之积。而两斜率之和为定值2，则y1+1 x1+y2+1 x2=2，变形化简可转化为跟两根之和两根之积有关的，把相关值代入即可算得定点为（1，1）。

我们把第二小步的这个结论记为结论1，即：

结论1 已知椭圆x2 2+y2=1的下顶点为A，过点A分别做直线AM，AN交椭圆E于M，N两点，记这两条直线的斜率分别为k1，k2，并且两斜率之和为定值2，则直线MN过定点（1，1）。

此结论为两直线斜率之和为定值2，若定值为1或者为其他值，对应的直线是否也会过定点呢？其实结论1可以做推广（以椭圆焦点在x轴为例）：

推广1 已知椭圆E：x2 a2+y2 a2=1（a>b>0）的下顶点为A，过点A分别做直线AM，AN交椭圆E于M，N两点，记这两条直线的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=n（n≠0），则直线MN过定点2b n，b。

结论1和推广1是过椭圆的下顶点而得到的结论，用同样的方法计算可以得到过椭圆的其他三个顶点也有此结论。既然四个点顶点都由此结论，那下一个问题就是如果过椭圆上的任意一点做两条直线，是否也具有此结论呢？推广1还可以在推广：

把推广1证明过程中得到的两根之和与两根之积代入，整理得：

此等式较复杂，仔细观察可以用十字相乘法因式分解：

当点A椭圆下顶点时，即x0=0y0=-b，代入推广2中得到的结论，得到定点为2b n，b，与推广1的结论刚好相符。推广2中要求n≠0，若n=0，那么直线MN会有什么其他特殊的特征呢？把n=0代入推广2中得到的t=（nm+2y0-nx0）a2 2b2x0+na2y0=a2y0 b2x0，这样直线MN的斜率kMN=b2x0 a2y0，即当n=0时，直线MN不是过定点，而是斜率为定值b2x0 a2y0。

此文章为椭圆焦点在x轴，如果焦点在y轴同样也有类似的结论。因此椭圆具有这样的性质：过椭圆上任意一点A做两条直线，分别交椭圆于M，N两点，当两条直线斜率和为定值，若定值不为0，则直线MN过定点;若定值为0，则直线MN斜率为定值。

由此可见，对简单的问题可以进行深化与推广，在不断地深化推广中，我们能更深入地了解隐藏在简单事物背后的复杂性与多样性。