丁字路口车辆U 形转向的元胞自动机模型

袁定强， 郭明旻， 张 鹏,3， 林志阳， 房 锐

(1. 上海大学上海市应用数学和力学研究所，上海 200072;2. 复旦大学航空航天系，上海 200433；3. 上海市能源工程力学重点实验室，上海 200072 4. 云南省交通规划设计研究院有限公司 陆地交通气象灾害防治技术国家工程实验室, 昆明 650200)

U 形转向（车辆路口掉头）是导致车辆拥堵的主要原因之一，因此有必要对路口车辆的U形转向问题进行研究。目前，国内外学者对U 形转向问题的研究[1-8]更多地是从道路交通设计和工程应用角度出发，没有利用交通流相关的模型理论进行分析，因此未能从本质上揭示流量密度等因素的影响。也有学者从交通流模型角度出发，研究车辆的路口转向问题。Yang等[9]研究了在路口处用右转再加U 形转向方式代替原来的直接左转方式，用CORSIM 交通仿真工具比较了这两种方式对路口处的车辆出行时间、延误时间和交通流量的影响。Carter等[10]研究了十字路口处的车辆U 形转向对路网车流量的影响。Combinido等[11]用元胞自动机NaSch模型模拟了十字路口处用右转加U 形转向代替直接左转的问题，并根据车辆转向行为对转向处道路进行特殊的元胞划分，但并没有采用元胞交错网格，不完全符合实际. Meel等[12]研究了道路中途车辆U 形转向（在道路的中央分隔带切开一段，用于车辆U 形转向）问题，将此种道路U 形转向设计细分为4 类，并比较了这4 类设计在车流量、交通事故方面的优缺点。

随着计算机软件技术的发展，国内外学者或软件公司基于交通流理论模型开发出了交通仿真模拟软件。如科研人员利用VISSIM[13-17]或AIMSUN[18]研究了各种车辆U 形转向问题。仿真软件中采用了其他相关交通流仿真模型，并非是以元胞自动机NaSch 模型为基础，并且所研究问题更多地偏向于左转加掉头模式或是十字路口车辆掉头，未考虑丁字路口的车辆U形转向问题。

王金刚[19]对丁字路口车辆远引调头交通组织方法展开了研究，在丁字路口处将车辆调头分为直接左转和右转加调头两种情况分别探讨。孙立[20]对城市信号交叉口调头选位方法进行了研究，首先分析了信号交叉口调头需求及组织方法，之后分别对单左转车道交叉口调头选位和双左转车道交叉口调头选位两种情况进行了研究。Zhou等[21]对交叉口车辆右转加调头的转向过程进行研究，实际是用右转加调头来实现车辆左转。以上研究都没有考虑车辆调头对车流量的影响，也没有用相关交通流理论模型进行模拟分析。

Adams等[22]研究了左转车道和调头车道在同一个车道时，调头车道的车辆数量比例对车流量的影响。Liu等[23]研究了车道出口与下游掉头位置之间的间隔距离对车辆行驶安全的影响，通过将车辆左转问题转换成右转加调头问题，并用最大似然估计方法对研究结果进行统计分析。Ben-Edigbe[24]用分段模型对道路从中央隔离带开口的车辆调头问题进行研究，通过对此段道路进行数据实际采集并加以分析，验证了模型的准确性。

Kong等[25]对处于信号交叉口的U 形返回调头路段进行了流量评估，通过将信号交叉口路段的U 形调头返回分为4 种类型，建立相关的拓扑图，对其进行模拟分析，并以左转车道的饱和度、平均排队长度和信号控制的平均延误作为评估标准，得出最优的信号交叉口U 形返回的结构设计。郭宏伟等[26]则以NaSch 模型为基础建立设置U 形转向的路段交通流模型，并对其特性进行模拟分析，研究了车流从自由流状态到拥挤状态的相变，但该模型并非真实道路交叉口，没有引入红绿灯，以及车辆U 形转向轨迹过于简化。

上述从多个角度出发对车辆U 形转向问题的研究，用于道路设计或利用已有的交通仿真软件进行模拟仿真，对车流量密度的影响考虑的较少。部分文献虽然采用交通流模型进行模拟仿真，考虑了车流量密度等因素，但更多是以十字路口车辆的U 形转向和用右转加U 形转向代替直接左转等相关场景为基础，没有考虑丁字路口车辆U 形转向的车流量密度问题。以上研究中在交叉口没有引入真实的红绿灯，部分文献的微观仿真在转向处的元胞划分不符合实际，并且建立的模拟场景不真实。

因此基于上述工作，本工作以丁字路口为原型来建立车辆U 形转向模型，引入符合实际的红绿灯，以NaSch 模型为基础进行模拟仿真，使转向车道元胞划分与直行车道元胞划分交错分布，研究丁字路口车辆U 形转向车道位置的不同对车流量的影响。

1 模 型

本工作研究的是丁字路口“丁”字上边一横左半部分的U 形转向车辆及各车道流量问题。丁字路口各条车道的车流流向如图1 所示。本工作将分2 种情况研究U 形转向车道位置的变化对流量的影响。

图1 丁字路口U 形转向示意图Fig.1 Sketch of U-turn at T-crossing

图1中的实线方框表示各个车道的车流会发生冲突，分别是路口的上方左转车道、右方左转车道、下方直行车道和下方U 形转向车道，因此需要为这4 个车道引入红绿灯。设置红绿灯周期为45 s，将黄灯视为绿灯。路口的上方左转车道、右方左转车道和下方直行车道的绿灯时间都为15 s，按顺时针从上往下变化。对于U 形转向车道的绿灯时间，图1(a)中就是右方左转车道的红灯时间，为30 s；图1(b)中就是右方左转车道和下方直行车道都是红灯的时间，为15 s。因此在一个红绿灯周期内，图1(a)的U 形转向车道的绿灯时间比图1(b)的U 形转向车道的绿灯时间多15 s。

1.1 道路元胞划分

对图1 中的虚线框部分进行道路元胞划分（见图2），其中D、E、F 车道分为自由行驶区、强制换道区、禁止换道区和路口转向区，A、B、C 车道分为自由行驶区和路口转向区。A、B、C车道在自由行驶区都是直行车道，其中图2(a)中的D、E、F 车道分别是U 形转向、直行和右转车道，图2(b)中的D、E、F 车道分别是直行、U 形转向和右转车道。而对于上方左转车道，由于红绿灯时间的间隔，其对U 形转向车道的车辆没有影响，同时也为简化模拟，该车道车流不予考虑。

图2 丁字路口U 形转向道路元胞划分示意图Fig.2 Sketch of road cells of U-turn at T-crossing

每个车道被划分为L 个元胞，每个元胞在每一时刻的状态为空或被一辆车速为v 的车辆占据。为精确刻画U 形转向车辆的交通流特性，将每个元胞长度定为3.75 m。除了在路口转向区部分车辆改变行驶方向会占用至少两个元胞以上，其余车辆均占用两个元胞。车辆的最大速度为vmax=5（无量纲数），对应实际速度为67.5 km/h。按照实际的道路交通规划设计，每条车道的宽度为3.5 m，中央分隔带的宽度为2 m，而路口转向区没有中央分隔带。设置道路总长度为134 个元胞，对应实际长度为502.5 m。A-B-C 车道的自由行驶区长度为128 个元胞。D-E-F 车道的自由行驶区长度为88 个元胞，强制换道区长度为30 个元胞，禁止换道区长度为10 个元胞。路口转向区长度为6 个元胞。

郭宏伟等[26]对转向区域的转向车辆没有按实际的车辆转向轨迹划分元胞，而本工作对此加以改进，使转向车道的元胞划分与直行车道的元胞划分交错重叠，这样更能体现U 形转向车辆对路口交通的影响。如图3 所示，右方左转车道的元胞以T 表示，U 形转向车道的元胞以U 表示，其余直行车道的元胞以所在车道字母编号表示。T 车道和U 车道的车辆占用本车道连续两个元胞，同时也要占用直线车道相重叠的多个元胞。因此转向车辆要前行到下一个元胞时，与之重叠交错的直线车道元胞必须全部为空车辆才可以前行。

1.2 换道规则

车辆在自由行驶区行驶时按自由换道规则换道，在强制换道区行驶时按强制换道规则换道。以xn(t)，vn(t)表示第n 辆车在t 时间步的位置和速度，dn(t)表示第n 辆车在t 时间步同前车n+1 之间的空元胞数量，因此dn(t) = xn+1(t)-xn(t)-l，其中l 为车辆长度。以x(n+1,other)(t)和x(n-1,other)(t)表示在t 时间步第n 辆车的邻车道上前车和后车的位置，d(n,fother)(t)和d(n,bother)(t)表示在t 时间步第n 辆车同邻车道前车和后车之间的空元胞数量，则d(n,fother)(t)=x(n+1,other)(t)-xn(t)-l, d(n,bother)(t)=xn(t)-x(n-1,other)(t)-l。

图3 路口转向区元胞交错划分Fig.3 Staggered cells in the turning area

在自由换道区，车辆为了加速行驶而变换车道，换道需同时满足动机条件和安全条件：

如果动机和安全条件均满足，车辆将以概率pc换道。在D、E、F 车道的自由行驶区，当车辆所在车道与本需行驶车道不一致时，车辆向本需行驶的车道方向上换道。当车辆所在车道与本需行驶车道一致时，车辆向与前方车距最大的车道换道，以保证能够加速行驶。而车辆在强制换道区行驶时，车辆将按照强制换道规则进行换道，即

此规则表示将要换至车道的前方至少有一辆车车长的距离，而后方车辆与本车也至少有一辆车的距离时，本车就立即换道，即“见缝就钻”。若车辆将要进入禁止换道区时还没有完成换道，车辆将在此等待直至换道条件满足换至相应车道后再继续向前行驶。

1.3 跟驰规则

本工作采用的车辆跟驰规则以NaSch 模型[27]为基础。车辆在转向过程中的转向最大速度u = 1（无量纲数），转向车辆在转向区行驶不再进行随机慢化步骤。其余车辆最大速度为vmax。除了禁止换道区的首车在到达路口时受红绿灯的限制外，车辆均按NaSch 模型的演化规则进行速度和位置的更新，规则如下：

加速，

减速，

随机慢化（以概率p），

位置更新，

2 数值模拟

数值模拟采用开放边界条件：以xhead(t)和xlast(t)表示道路上第t 时间步的首车和尾车位置。对于驶向路口三车道(D-E-F 车道)，当xlast(t) ＞vmax时，若U 形转向车辆进车概率pu满足，则一辆U 形转向车辆进入，若pu不满足，则直行或右转车辆以概率pin进入，且此车是直行还是右转车辆的概率都是50%。车辆以速度vmax进入元胞min(vmax,xlast(t)-vmax)并成为新的尾车。对于驶离路口三车道(即A-B-C 车道，在路口转向区为A-B-T 车道)，三条车道的进车概率依次为pin,pin/2,pin。考虑到上方直行车道和右方左转车道的部分车辆会换至中车道行驶，因此中车道的车辆以概率pin/2 进入。当xlast(t)＞2 时, 即在驶离路口的三车道各自的车辆入口处（见图2）只要有一个车辆空位存在，且右方左转车道绿灯亮时，此时驶离路口三车道对应的有车辆空位的入口将有一辆u = 1 的车辆以对应的概率进入元胞2。当xhead(t)＞L 时，首车以概率pout驶出系统。

对图2 所示的两种场景分别模拟，模拟时每个时间步长为1 s。为消除暂态影响，每次模拟将前10 000 个时间步的结果舍弃，对之后的50 000 个时间步的各车道流量进行统计。在每条车道设置n 个监视截面，统计每个截面在t 时间步的流量, 则车道i 在统计时段内的流量为。在自由行驶区和路口转向区分别进行流量统计。在模拟时设置车辆驶出车道的概率为pout= 1，车辆换道概率为pc= 0.7，车辆随机慢化概率为p = 0.3。每次模拟时的进车概率pin和pu都有变化，且进车概率大小与相应的车辆密度正相关，即随着进车概率的增大，相应的车辆密度也增大。

2.1 U 形转向车道位置变化对路口转向区车流量的影响

图4 表示路口转向区U 形转向车道流量随概率pin和pu的变化。在pin较小时，转向车道流量qu随着pu的增大而快速增加，之后随着pu的增大流量达到稳定，说明qu达到饱和流量。随着pin的增加，qu达到稳定时的概率pu也增加，因为此时直行和右转车辆增多，转向车流qu受直行和右转车辆换道的影响, 就需要更大的进车概率pu，流量qu才能达到饱和。对于场景一，随着pin的增加，转向车道的饱和流量逐步减小。而场景二中随着pin的增加，饱和流量变化很小，且在pin接近1 时，场景一的饱和流量低于场景二。因为在场景一中路口转向区U 形转向车道车辆受右方左转和中车道车辆影响大于场景二中只受右方左转车辆影响。而在pin较小时，场景一的流量qu高于场景二，则是由于在一个红绿灯周期内场景一的U 形转向绿灯时间比场景二多15 s。

图5 为路口转向区驶离路口方向的右方左转车道(T 车道)流量变化图。从图中看出：随着概率pu的增加, 流量qT最终稳定变化, 是由于U 形转向车道随pu的增加而流量qu趋于稳定, 从而使得路口转向区右方左转车道的流量稳定。在pin一定时, 场景一的流量qT高于场景二, 以及在场景一中pin较大pu较小时流量qT随pu的增大而减小, 在场景二中pu较小时流量qT随pu的增大而增大, 都是由于场景一和场景二U 形转向车道的位置和绿灯时间的不同的影响。总之, 在路口转向区驶离路口方向的右方左转车道和U 形转向车道的车辆之间相互影响。

图4 路口转向区U 形转向车道流量Fig.4 Flow in the U-turn lane in the turning area

图5 路口转向区T 车道流量Fig.5 Flow in the T lane in the turning area

截取第14 500 s 到15 000 s 的车辆位置数据，绘制相图，结果如图6 所示。两个场景的车辆进入概率pu和pin都为30%。车辆所在位置（横坐标）1 至134 表示驶向路口三车道的车辆随时间移动过程，135 至268 表示驶离路口三车道的车辆随时间移动的过程。图中出现多个车辆重叠在一起是因为它们所在位置元胞编号相同，但它们位于不同的车道。从图6 中可以明显看出，驶向路口三车道车辆由于在强制换道区未及时换道而停留于此引起了车辆堵塞，使此三车道的车辆只能缓慢前行。对于驶离路口三车道车辆不需要强制换道也没有红绿灯限制，因此车辆一直保持畅行。车辆位置130 附近部分元胞为空，是由于车辆在强制换道区没有及时换道而长时间停留以至于禁止换道区没有了车辆，以及车辆驶出路口所致。另外，从图6 可看出，场景一驶向路口方向的车流量低于场景二。

图6 进车概率pu 和pin 都为30%时第14 500 到15 000 s 的车辆位置相图Fig.6 Phase diagram of vehicles’ locations between 14 500 and 15 000 s when pu and pin are both 30

2.2 U 形转向车道位置变化对自由行驶区车流量的影响

图7为驶离路口方向自由行驶区三车道(A、B、C 车道)的流量变化图。可以看出：在pin一定时，流量随pu的增大而快速达到饱和；在pin低于0.5 时，场景一的流量qABC高于场景二（见图4）是由于此时场景一的U 形转向流量qu高于场景二，之后转向车辆进入此三车道使流量qABC增加；在pin高于0.5 时，场景一中此三车道饱和流量qABC低于场景二，是由于在场景一中路口转向区U 形转向车道和此三车道中的中车道和右方左转车道相互影响使流量减小，以及此时场景一的U 形转向流量qu低于场景二所致。但总体上U 形转向车道位置的不同对A-B-C 车道的流量影响不大。

图7 驶离路口方向自由行驶区A、B、C 车道流量Fig.7 Flows in lanes A, B and C when driving out crossing

图8为驶向路口方向自由行驶区三车道(D、E、F 车道)的流量变化。从图中看出，场景一和场景二的流量变化有显著差异。场景一中流量qDEF先随着pu从0 处开始增大而增大，之后趋于平缓，在pu＞0.8 时减小。随着pin的增大，在pu＜0.8 时流量qDEF趋于平缓，并且流量饱和值逐步减小。场景二中流量qDEF先随着pu从0 处开始增大而增大，达到峰值后就逐步减小，几乎没有平缓过渡期。这是由于场景一中U 形转向车道在一个红绿灯周期内绿灯时间大于场景二所致。随着pu的增大流量qDEF减小是由于车辆增多部分车辆无法及时换道最终造成交通堵塞瘫痪。随着pin的增大场景二流量qDEF的峰值高于场景一（见图8），这是因为场景一中路口转向区U 形转向车辆受中车道和右方左转两条车道车辆的影响, 相应的在场景二中只受右方左转车道一条车道的影响从而流量更大。即便是场景一的U 形转向车道绿灯时间大于场景二，但此三车道流量还是主要受U 形转向车道位置的影响。

图8 驶向路口方向自由行驶区D、E、F 车道流量Fig.8 Flows in lanes D, E and F when driving into crossing

3 结束语

本工作建立了丁字路口双向六车道的模型，采用交错元胞网格划分，引入红绿灯，以元胞自动机NaSch 模型为基础，研究了U 形转向车道位置和进车概率即车辆密度的变化对各车道流量的影响。结果表明，U 形转向车道位于左边车道和中车道时的差异对路口转向区的U 形转向车道和右方左转车道的流量影响显著。在各车道车辆进入概率较低时，U 形转向车道位于左边车道时U 形转向车流量更高，但概率较高时，两种情况下的U 形转向车流量差异不大。而对于路口转向区的右方左转车道，U 形转向车道位于中车道的流量都要优于其位于左边车道时的流量。对于右边三个车道，随着U 形转向车辆进入的概率增大，U 形转向车道位于中车道的流量减小较快，而位于左边车道时流量减小较缓慢。对于左边三个车道，在进车概率较低时，U 形转向车道位于左边车道时的流量高于其位于中车道，但进车概率较高时，前者流量又略低于后者。

因此在实际丁字路口设计时，若日常中U 形转向车流较高时可将U 形转向车道放在左边车道，这时也可提高右边三车道的流量。若日常中右方左转车流较高时可将U 形转向车道放在中车道，此时在U 形转向车流不高时，其对右边三车道的流量影响不大。本工作用NaSch模拟了丁字路口的一个方向的车辆流动，在未来的工作中可以用其他的交通流模型进行模拟仿真，对路口的红绿灯设置进一步优化。在实际的城市路网中，十字路口数量远比丁字路口多，十字路口的U 形转向问题将更加丰富和复杂。本工作从简单的丁字路口U 形转向问题着手建立研究方法并积累经验，得到初步结论，以后会推广至十字路口做进一步研究。