数学文化之中国古代对等差数列的研究

2020-05-28 09:36张国林邵书静
中学生数理化·教与学 2020年4期
关键词:良马九章算术公差

张国林 邵书静

中国古代数学家对数列知识早有研究,如《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》《张邱建算经》等书中,都记载了许多有趣的数列问题.本文选取几个古老的数列问题,编写介绍如下,供同学们研究思考.

例1 今有金棰,长五尺.斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?(选自《九章算术》)

【译文】今有一锥状金鞭,全长5尺,截根部1尺,重4斤,截顶部1尺,重2斤.由末到本一尺一尺截取,依次各重多少?

【解析】由题可知,由末到本,每尺的重量成等差数列.设首项a1=2,末项a5=4,项数n=5,设公差为d.由an=a1+(n-1)d.解得d=12.所以,a2=212,a3=3,a4=312.

故顶部1尺重2斤,下1尺重2斤8两,再下1尺重3斤,再下1尺重3斤8两,根部1尺重4斤.

值得注意的是,魏晋时代的大数学家刘徽在其注中说:“令本末相减,余,即四差之凡数也.”这就是an=a1=(n-1)d.这在中国数学史上是一个很大的创造.

例2 今有女不善织,日减功迟.初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫,问织几何?(选自《张丘建算经》)

【译文】今有女子不善织布,每天织布以同数递减,开始每天织5尺,最后一天织1尺,共织布30天,问共织布多少?

此题是等差数列求和问题.张丘建的解法为:“并初末日织尺数,半之,余以乘织讫日数,即得.”即为Sn=n(a1+an)2.这与高斯算法有异曲同工之妙,而张丘建比高斯早了近1500年!这充分说明古代中国在数学方面的研究起步早,挖掘深,研究广.

例3 今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增十三里.驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马.问几何日相逢及各行几何?(选自《九章算术》)

【译文】有良马和劣马各一匹,都从长安出发到齐,两地相距3000里.良马第一日走193里,以后每天比前一天加速13里,劣马第一天走97里,以后每天比前天减速12里.良马先到齐后,立刻返回迎接劣马,问良马和劣马几天相遇,各走了多少里?

【解析】由题知,良马与劣马每日的行程均成等差数列.设良马第一日的行程为a1=193里,公差为d1=13里;劣马第一日的行程为b1=97里,公差为d2=-0.5里.利用公式Sn=na1+n(n-1)d2(劉徽在注解中已经指明了这个公式)求良马和劣马的行程.

良马15日行程:15×193+15×(15-1)×132=4260(里);劣马15日行程:15×97+15×(15-1)×(-0.5)2=1402.5(里).不足:6000-4260-1402.5=337.5(里).

良马16日行程:16×193+16×(16-1)×132=4648(里);劣马16日行程:16×97+16×(16-1)×(-0.5)2=1492(里).盈余:4648+1492-6000=140(里).现只需求15日后两马相遇的时间即可,这时,两马的距离是337.5里,用等差数列通项公式an=a1+(n-1)d,可求:良马第16日的速度是193+15×13=388(里∕日),劣马第16日的速度是97+15×(-0.5)=89.5(里∕日).二马的速度和是388+89.5=477.5(里∕日).故二马在第16日相遇的时间337.5477.5=135191日,总计,二马相遇时间为15135191日;良马行程为:4260+388×135191=453446191里;劣马的行程:1402.5+89.5×135191=1465145191里.

总之,中国古代数学家对等差数列做过广泛、深入的研究,适当地给学生介绍一些数学文化知识,也符合新课程的教育理念,能有效激发学生的学习热情.

注:本文系2019年度河南省基础教育教学研究项目《数学文化在高中课堂教学中的渗透案例研究》(JCJYC19030548)研究成果.

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