析x-t图像 解相关问题

■四川省成都市航天中学校

x-t图像是以位移（x）为纵轴，以时间（t）为横轴所作的函数图像，它表示物体的位移随时间变化的规律。在日常的学习中有很多同学会误以为x-t图像就是物体运动的实际轨迹。下面通过对x-t图像的剖析，帮助同学们完成对相关问题的解答。

一、从x-t图像中获取的信息

1.图像的物理意义：x-t图像只表示物体做直线运动。如图1所示，直线a表示物体的位移随时间均匀增加，又因为图像在横轴上方表示位移为正，所以表示物体沿正方向做匀速直线运动；直线b表示物体的位移不变化，即物体处于静止状态；直线c表示物体的位移随时间均匀减小，即物体沿负方向做匀速直线运动。

2.斜率的含义：x-t图像的斜率表示速度，图像倾斜得越厉害，斜率越大，表示物体的速度越大。若x-t图像是曲线，则在该曲线上某点切线的斜率表示该点的瞬时速度。如图2所示，曲线a表示物体的速度逐渐变大，即物体做加速直线运动，曲线b表示物体的速度逐渐变小，即物体做减速直线运动。

3.交点的含义：在同一坐标系中，几个x-t图像的交点表示这几个物体在同一位置，即相遇。

4.截距的含义：x-t图像在纵轴上的截距表示物体在起始时刻的位置，在横轴上的截距表示物体到达参考点时对应的时刻。

二、x-t图像与物体运动轨迹图像的区别

物体的运动轨迹图像表示物体沿y方向的位移随x方向位移的变化规律，它反映的是物体的实际运动轨迹；x-t图像表示的是物体的位移随时间的变化关系。两种图像具有本质上的差别。

例1某校学生开展无线电定位“搜狐”比赛，甲、乙两位同学从如图3所示的O点同时出发，并同时到达A点，两位同学的“搜狐”路径已在图中标出，则（ ）。

A.两位同学的平均速度相等

B.甲同学的平均速度大于乙同学的平均速度

C.甲同学的路程大于乙同学的路程

D.甲同学的位移大于乙同学的位移

解析

此“地形图”实为两位同学的运动轨迹图像。两位同学同时出发、同时到达A点，位移相等，平均速度相等，选项A正确，B错误。甲同学运动轨迹的长度大于乙同学运动轨迹的长度，即甲同学的路程大于乙同学的路程，选项C正确，D错误。

答案：AC

例2甲、乙、丙三个物体同时同地出发做直线运动，它们的x-t图像如图4所示，在0～20s内它们的平均速度和平均速率的大小关系是（ ）。

A.平均速度大小相等，平均速率v甲＞v乙=v丙

B.平均速度大小相等，平均速率v甲＞v乙＞v丙

C.平均速度的大小v甲＞v丙＞v乙，平均速率相等

D.平均速度的大小和平均速率相等

解析

由x-t图像可知，三个物体的位移相等，经历时间也相等，因此平均速度大小相等。因为甲物体有反向运动过程，所以甲物体的路程最大，平均速率也最大；乙、丙两物体均没有反向运动过程，乙物体做匀速直线运动，丙物体做变速直线运动，且它们经过的路程是相等的，因此两物体的平均速率相等。

答案：A

点评：物体的运动轨迹图像表示了物体运动的轨迹变化情况，它反映的可以是直线运动也可以是曲线运动，但是不能反映出物体瞬时速度的变化情况；x-t图像不能表示物体运动的实际轨迹，但可以反映出物体在不同时刻的位置，也能反映出不同时刻物体瞬时速度的变化情况。

三、利用x-t图像解决直线运动的相关问题

x-t图像可以细致地记录、全面地表现物体做直线运动时的运动过程，具有便捷、直观的应用价值。

例3（2018年高考全国Ⅲ卷）甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀速直线运动。甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图5所示，下列说法中正确的是（ ）。

A.在t1时刻两车的速度相等

B.在0～t1内，两车走过的路程相等

C.在t1～t2内，两车走过的路程相等

D.在t1～t2内的某时刻，两车的速度相等

解析

由x-t图像可知，在t1时刻，甲、乙两车的图像有交点，且表示乙车的直线的斜率大于表示甲车的曲线的斜率，说明在t1时刻两车的位置相同，速度不相等，且乙车的速度大于甲车的速度，选项A错误。0时刻乙车从位移为0的位置出发，甲车从位移大于0的位置出发，在0～t1内乙车走过的路程要大于甲车走过的路程，选项B错误。在t1～t2内，两车都是从位移为x1的位置走到位移为x2的位置，且两车在同一平直公路上同向运动，因此两车走过的路程相等，选项C正确。根据x-t图像的斜率表示速度可知，在t1～t2内的某时刻，两车的速度会相等，选项D正确。

答案：CD

点评：解决本题的关键是明确在x-t图像中，物体做匀速直线运动的位移随时间变化的图像为一条倾斜的直线，做匀加速直线运动的位移随时间变化的图像为一条抛物线，图像的斜率表示物体的速度。

四、利用x-t图像解决竖直上抛运动中的相遇问题

竖直上抛运动是匀变速直线运动的一个特例，既可以视为全过程的匀减速直线运动，又可以分为上升过程的匀减速直线运动和下降过程的自由落体运动。当两个物体先后以不同的初速度在同一直线上做竖直上抛运动时，它们可能会在空中相遇。

例4将小球A以初速度vA=40 m/s竖直向上抛出，经过时间Δt后，又以初速度vB=30 m/s将小球B从同一点竖直向上抛出，为了使两小球能在空中相遇，试分析Δt应满足的条件。（取重力加速度g=10m/s2）

解析

因为是在同一点抛出的两小球，且vA＞vB，所以两小球能够在空中相遇的位置一定是在小球A下降阶段，小球B在上升或下降阶段都有可能，两小球被抛出的时间间隔由两小球在空中相遇的位置决定，可以利用x-t图像进行求解。

点评：求解该题虽然也可以采用其他方法，但是借助x-t图像呈现两个运动在一段时间内的位置及变化情况，从而比较、分析两小球的相遇问题，无疑更直观、更便捷。

特别提醒：解决x-t图像问题要做到“五看”，即一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“截距”，五看“特殊点”。有些图像问题的求解（如v-t图像）还需要看图像与坐标轴所围成的“面积”，而x-t图像与坐标轴所围成的面积是没有意义的。

感悟与提高

1.甲、乙两小分队进行军事演习，指挥部通过现代通信设备，在屏幕上观察到两小分队的具体行军路线如图7所示，两小分队同时同地由O点出发，最后同时到达A点，下列说法中正确的是（ ）。

A.两小分队行军路程的大小关系是s甲＞s乙

B.甲小分队的平均速度大于乙小分队的平均速度

C.甲小分队的位移大于乙小分队的位移

D.到达A点之前甲小分队的瞬时速度始终大于乙小分队的瞬时速度

2.甲、乙两人骑自行车同时同地出发做直线运动，前1h内的x-t图像如图8所示，下列表述正确的是（ ）。

A.0.2h～0.5h内，甲的加速度比乙的大

B.0.2h～0.5h内，甲的速度比乙的大

C.0.6h～0.8h内，甲的位移比乙的小

D.0～0.8h内，甲、乙两人骑行的路程相等

3.a、b、c三个物体在同一条直线上运动，它们的x-t图像如图9所示，其中a物体对应的图像是一条顶点坐标为（0，10）的抛物线，下列说法中正确的是（ ）。

A.b、c两物体都做匀速直线运动，两物体的速度相同

B.0～5s内，a、b两物体间的距离逐渐变大

C.物体c的速度越来越大

D.物体a的加速度为0.4m/s2

4.从地面上以初速度2v0竖直上抛物体A，相隔时间Δt后再以初速度v0从同一地点竖直上抛物体B，不计空气阻力，下列说法中正确的是（ ）。

A.两物体可能在物体A上升过程中相遇

B.两物体只能在物体A下降过程中相遇

参考答案：1.A 2.B 3.B 4.BC