小波去燥灰色Verhulst模型在边坡位移动态监测中的应用*

彭 艳 王德高

(安徽工业经济职业技术学院地质与建筑工程学院 安徽合肥 230051)

工程建设过程中的不同时期，人工边坡以及天然边坡对工程建设以及生命财产安全的威胁时刻存在。由此，边坡稳定性的分析研究显得尤为必要。

预测的方法有很多，但是由于地质条件的差异等原因导致边坡特点错综复杂，应用确定性预测模型预报精度不高[1]。因此，在未来边坡位移受多种因素影响而呈现动态变化时，且是不确知的情况下，可以将边坡视为灰色系统[2]，即已知部分边坡信息，同时亦存在未知信息。该理论认为灰色量和灰过程是在一定范围和时间上变化的随机量，核心是灰色模型。Verhulst模型由德国生物学家Verhulst提出，主要用于描述生物繁殖的规律[3]。晏同珍教授根据滑坡发展变化特征首次将Verhulst应用于滑坡的预测分析中[4]。在小波分析中，通过设定阈值从而去除观测数据中的噪声，时频局部化和多分辨率的特点让其在数据处理领域应用较为广泛[5]。文章首次应用小波去噪灰色Verhulst模型对边坡位移进行了建模预测。

1 灰色Verhulst模型

1.1 常规灰色Verhulst模型

Verhulst模型的微分方程形式为：

(1)

x(0)即为边坡位移原始序列：x(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))。a，b是系数，可用下式求解：

(2)

式(2)中，

x(1)(k)为原始数据一次累加生成的新数列。可用下式计算：

(3)

k=1，2，…，n

对式(1)求解得：

(4)k=1，2，…，n-1

则预测值可写为：

(5)

k=1，2，…，n-1

1.2 残差检验及后验差检验

(6)

(7)

(8)

(2)后验差检验 计算原始数列标准差：

(9)

(10)

计算绝对误差序列的标准差：

(11)

(k=1，2，…，n)

(12)

(k=1，2，…，n)

(13)

(14)

2 小波去燥原理

时频特性的优势使得小波分析在形变分析中应用较广[6]。主要方法有阈值法和模极大值法，阈值法因其简捷的特点应用广泛[7-8]。边坡位移的变化既有内在因素的影响，如地质条件，又有外界因素的影响，如降雨。通过对观测数据进行预处理，可有效过滤噪声，提高预测的精度。在观测数据经过小波多尺度分解后产生平滑信号和细节信号，对于边坡变形来说，平滑数据应予保留；而细节信号则需要进一步处理以剔除噪声，常用软阈值法和硬阈值法[9]。

硬阈值法：

(15)

软阈值法：

(16)

3 工程实例分析

根据文献[11]的资料，三峡库区张桓侯庙东某滑坡带地表位移监测点共28个，沉降监测点12个，主要监测点地表累计位移量见表1。采用小波去燥的Verhulst模型，以前12组数据建立模型预测出后4组，然后比较后4组实测值与预测值，以此来检验精度。

表1 地表累积位移量

3.1 小波去燥和去燥后Verhulst模型预测值

利用前述方法，结合Matlab编程对原始数据去燥处理。对前12个数据进行去燥后的结果和原数据对比，见图1。

图1 地表累计位移曲线

从图中可以看出，去燥后的数据曲线更为平滑，第六点处为突变点，去燥后亦是，较好的保留了数据的原始信息，有利于后续的预测的精度。

灰色Verhulst模型和小波去燥后的灰色Verhulst模型计算均通过编写的Python程序实现，计算中，灰色Verhulst中a=0.3732647，b=0.0006101；小波去燥后的灰色Verhulst模型中a=0.379245411，b=0.00064653。预测值精度评定结果见表2。

从表2可以看出，小波去燥后的预测结果相对于去燥前更接近实测值，相对误差较小。

在Verhulst模型预测结果中，相对误差平均值为0.225>0.2，精度为四级，且向三级逼近，精度较低；小波去燥后的Verhulst模型中，相对误差平均值为0.038，在[0.01，0.05]区间范围内，精度等级为二级，且向一级逼近。两种模型P=1，后验差检验精度等级为一级，通过检验。综上，小波去燥后的Verhulst模型更适合滑坡位移预测。

表2 两种模型的位移预测值与实际值比较

4 结论

由于多种因素引起滑坡变形，且各因素间是灰色关系。通过小波分析对滑坡监测数据进行平滑处理后利用灰色Verhulst模型进行预测，并与Verhulst模型进行对比，可以得出小波去燥后的Verhulst模型预测精度更高，与实测值拟合较好，更适合工程实践。当样本数量较大时，小波去燥分析对监测数据的预处理能否保持精度较高的预测能力是下一步研究的重点。