一道高考题引发的思考——函数最值题解法探究

康 琳

(四川师范大学附属中学 610061)

课前给学生布置了这道例题，研究不同的解法，请学生展示成果.而选这道例题的原因，从考查学生运用知识能力方面，是因为要解决这道题，需要具有较强的综合运用知识的能力；从考查内容方面来看，函数最值既是高中数学的重要基本知识，同时也是高考每年必考的重点内容之一.由于有时常与导数结合起来考察，知识点多、运算量大、综合性强，所以这类题在区分学生层次、选拔人才方面起到很好的作用，因此也深受广大一线师生的关注.

例题(2013年全国卷一)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为____.

思考一先确定a,b的值，再求函数最值是所有学生选择的思路，因为题目要求f(x) 的最值，自然想到确定函数解析式.

步骤一确定a,b的值.

解法1因为函数f(x)的图象关于直线x=-2对称，所以f(x)=f(-x-4)①，或者f(-2+x)=f(-2-x).

评注通过将已知条件用数学的语言表达出来，考查学生的数学表达能力.通过得到的抽象的数学表达式，即关于a,b的方程组.

(1)代入原函数展开合并同类项后，根据对应项系数相等，得出a,b的值.但此法运算量很大，选择的学生都中途放弃，和学生一起分析原因，提出代数运算有时需要对算法进行推理和选择.

(2)定义域内任意的x都满足①式，故取两个特殊值x=0,x=-2 得方程f(0)=f(0-4)和f(-3)=f(3-4)，直接计算可得a=8,b=15.此法与(1)相比运算量大大减少，学生都能正确计算得出结果.

(3)因为直线x=-2是函数f(x)的图象对称轴，所以f′(-2)=0，又f(0)=f(0-4)，计算得a=8,b=15.此法需要学生有较强的综合运用知识的能力.

解法2 观察函数结构，发现x=±1 是函数f(x)的两个零点，由函数图象关于直线x=-2对称得，x=-3,x=-5 是函数f(x)的两个零点，即x=-3,x=-5是二次方程x2+ax+b=0的两个根，由韦达定理可得a=8,b=15.

评注学生将数学符号语言与图形语言互相转化，准确地推理论证，再利用函数与方程的思想，可以得到多种较为简便的解法.教学时利用GeoGebra数学教学软件动画生成函数f(x)的图象，让学生直观感受数形结合给解题带来的快捷.在课堂教学过程中适时增加新鲜感，能够使学生在紧张的高三学习中体验数学的美.

解法3 根据已知条件可以知道，将原函数f(x) 的图象往右平移两个单位后，关于x=0 对称，即f(x-2)是偶函数.

f(x-2)=-x4+(8-a)x3+(6a-b-23)x2+(-11a+4b+28)x-12+6a-3b，

由8-a=0，-11a+4b+28=0，得a=8,b=15.

评注通过逻辑推理和空间想象，将图形语言转化为符号语言，再由高次多项式的奇偶特点构造方程组，以数形结合的基本思想提供了一种不同的思路.

解法4 对于偶函数g(x)=-x4+cx2+e，往左平移两个单位得f(x)=g(x+2)=-(x+2)4+c(x+2)2+e，由x=±1 是函数f(x)的两个零点，得f(-1)=-1+c+e=0

f(1)=-81+9c+e=0，得c=10,e=-9.

评注逆向思考由高次多项式的奇偶特点构造方程组.

步骤二求函数f(x) 的最大值

解法1由函数f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)，得f′(x)=-4x3-24x2-28x+8=-4(x+2)(x2+4x-1).

评注通过求导研究函数最值是学生熟悉的方法，思维难度小于运算难度. 部分学生求导后求三次方程-4x3-24x2-28x+8=0(等价于x3+6x2+7x-2=0)的根时，不能正确分解因式，导致中途放弃或错解，这里提供三种分解方法：①待定系数法，观察出x=-2 是方程x3+6x2+7x-2=0的一个根，再令x3+6x2+7x-2=(x+2)(x2+bx+c) ，利用同类项系数关系求出b=4,c=-1 ②多项式除法 ③三次方程求根公式(选修2-2P113阅读与思考的代数基本定理)

解法2由【思路步骤一】的解法2得f(x)=-(x-1)(x+1)(x+3)(x+5)，作出函数图象，不妨设f(x)最大值在x1,x2取到，其中x1

评注函数最值在端点或极值点取得，利用虚设的零点整体代入运算，降低运算难度.这对提升学生的数学思维方面具有重要的作用.

解法3由【思路步骤一】解法2得

f(x)=(1-x2)(x+3)(x+5)=(1-x)(x+1)(x+3)(x+5)=-(x2+4x-5)(x2+4x+3)=-[(x+2)2-9][(x+2)2-1]，令(x+2)2=t,t≥0 ，则y=-(t-9)(t-1).当t=5时，得y的最大值为16 .

评注局部换元后，从代数角度发现函数结构更为简洁，从几何角度发现函数右移两个单位后得到四次偶函数，转化为基本初等函数求最值，我们会发现有时建立不同的数学模型会使运算相对简单.数形结合能帮助学生理解换元的意义.

评注由四项连乘的结构联系到海伦公式，这是符合函数的认知结构的，体现了数学模型的思想，从广义来说，数学知识本身也是数学模型的一种，这也是学生知识的迁移能力的体现.

解法5由【思路步骤一】的解法4有f(x-2)=-x4+10x2-9=-(x2-5)2+16，得f(x) 的最大值16.

评注平移变化后，结构简化，研究对象转移. 通过动画展示，引导学生直观想象，发现平移后，零点也移动，而最值不变.于是产生下面的解法.

思考二学生通过对以上解法、思路的理解，结合图象直观感受，不断优化分析最终发现将f(x) 的最值等价转化为g(x) 的最值(零点平移、偶函数对称性)，用不等式求最值， 学生的能力得到进一步的提升.

评注引导学生直观想象，函数图象平移前后哪些特征该变，哪些特征不变，再利用均值不等式，化繁为简，巧妙求最值.

思考三高考函数压轴题难度较大，从多角度分析难点问题有利于提升学生的思维水平与思维层次，本节课以2013年全国卷一道填空题为例题，在课前布置给学生思考，并在各组之间展开学习竞赛，看哪一个小组找到的解法最多，以此来调动学生的学习兴趣和探究积极性.课上让学生们分组展示小组成果，最后总结出解决函数最值压轴题的一些解题策略.反思后发现近年高考数学命题将“多考点想，少考点算”作为一条基本的命题理念在实施，这道题就得到了充分的体现.