对一道圆锥曲线试题的探究与思考

陈艺平

(福建省龙海第一中学龙翔路校区 363100)

一、原题再现

(1)过椭圆C的右焦点作一条垂直于x轴的垂轴弦MN,求MN的长度.

(2)MN是椭圆C的短轴，若点P是椭圆C上不与M,N重合的任意一点，直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0),求xE·xF的值.

二、由特殊到一般

例题1第(3)问可改编成：

解由已知得

三、把结论推广到其它圆锥曲线

解如图2所示,由探究1可得

结论2 已知圆C:x2+y2=a2(a>0),M(x1,y1),N(x1,-y1)为圆上关于x轴对称两点，P(x0,y0)为圆上异于M,N的任意一点,且直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0),则xE·xF=a2为定值,即xE·xF恒等于半径的平方.

解如图3所示,由探究1可得

探究xE·xF是定值吗？若xE·xF不是定值,xE+xF是定值吗?

解如图4所示,容易证xE·xF不是定值,过程略.

结论4 抛物线C:y2=2px(p>0),M(x1,y1),N(x1,-y1)为抛物线上关于x轴对称两点，P(x0,y0)为抛物线上异于M,N的任意一点,且直线MP、NP分别交x轴于点E(xE,0)和点F(xF,0),则xE+xF=0为定值,即xE+xF恒等于0.

四、追根溯源、深入挖掘

通过对本题的探究,启发我们进一步思考,圆锥曲线的椭圆、双曲线是轴对称图形,也是中心对称图形,抛物线是轴对称图形,圆锥曲线上两个关于轴或中心对称的动点与曲线上任意一点构成的两直线斜率之积是否也为定值.如果是定值,这个定值是多少？

试题分析(1)由已知可设M(x1,y1),N(-xx,-y1),P(x0,y0),

试题分析(1)由已知可设椭圆长轴两端点分别为A1(-a,0),A2(a,0).

P1P2为垂直于x轴的动弦,且P1(x0,y0),P2(x0,-y0),则

五、试题链接、命题呈现

解析本题显然是例题2的结论的一个应用,虽然没有要求学生记住这些二级结论,但同学们若掌握了上述推理过程,就可以通过一般到特殊的解法很自然地得到答案.对于思维好的学生也可以通过特殊值、特殊点代入的方法得到正确答案.