一个函数不等式恒成立问题的两种解法

曹 彬

(贵州省黔西第一中学 551500)

函数作为高中数学知识体系的核心，是历年高考的热点，函数题常常作为高考压轴题出现.以研究函数性质为主要解题手段的不等式称为函数不等式，函数不等式恒成立问题是高考函数题中的重点，在高考试卷上较为常见.通常以一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数为载体，考察函数的图象与性质，渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创新性，发展学生数学核心素养起到积极的作用.

函数不等式恒成立问题都要转化为函数最值问题，但对于解析式较复杂的函数，学生普遍感到难以找到解决问题的切入点和突破口.本文旨在介绍洛必达法则应用的同时，多种解法求一类特殊函数不等式恒成立问题中参数取值范围.

一、问题的提出

已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)，若对任意x∈(1,+∞)，都有f(x)>0恒成立，求常数a的取值范围.

这种问题通常转化成讨论f(x)在(1,+∞)上的最小值，而且常常用参变分离方法.如果仔细观察，会发现f(1)=0，这种问题的解法就有数形结合法、参变分离法，下面分别介绍这两种解法.

二、问题的解答

1.解法一(数形结合法)

因为x>1，所以g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(1,+∞)上为单调增函数，且g(1)=f′(1)=2-a.

当2-a≥0，即a≤2时，f′(x)>0在(1,+∞)上恒成立，所以f(x)在(1,+∞)上为单调增函数.由于f(1)=0，故满足f(x)>0在(1,+∞)上恒成立.

综上，a≤2.

评析这种解法就是参考答案给出的常规解法，根据函数的性质确定函数的图象，通过讨论函数在指定范围内是否有零点，逐步缩小参数的范围并最终确定，但是找区间的端点是难点.

2.解法二(参变分离法)

洛必达法则 设函数f(x)和g(x)满足：

(2)函数f(x)，g(x)在x0的某个去心邻域内可导，且g′(x)≠0；

评析这是最容易找到入手点的解法，但在最后阶段却出现疑惑，因为在x=1处的函数值不能直接解出，所以要用洛必达法则求极限值.

运用上述两种解法，可解决如下同类型题：已知函数f(x)=(1-x2)ex，当x≥0时，都有f(x)≤ax+1恒成立，求a的取值范围.

函数题的得分率历来不高，学生普遍感到困难，分析有如下原因：需要对证明的等式或者不等式进行变形，此过程需要技巧，经验性很高，学生一般很难掌握；含有参数的问题需要分类讨论，讨论的类别较多，运算量大还容易遗漏；对研究的函数不能画出图象，难以构造出直观模型辅助思考；很多函数题需要多次求导.

所以，如果用高中知识解答高考函数题，对学生的思考灵活性、思维严密性、表达逻辑性等方面的要求较高，难度较大.