例析二体问题的折合质量解法

谢汝成

(吉林省辽源市第五中学 136200)

孤立的二体系统问题在高考试题和自主招生试题中比较常见，在解决该类问题时，通过引入折合质量的概念，可将复杂的二体问题变为单体问题.本文利用三道题目的分析求解，凸显出该种方法在解决此类问题的巧妙之处.

一、折合质量推导

如图1所示，宇宙中两颗相距较近的天体均为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起.设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L.

图1

双星m1和m2

ω1=ω2=ω

①

②

r1+r2=L

③

分析m1的匀速圆周运动

二、应用

图2

例1如图2所示，一质量为mB长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为mA的小木块A，现以地面为参照系，给A和B以方向相反的初速度V1和V2，使A开始向左运动，B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离B板.若已知A、B之间的动摩擦因数为μ.求满足条件的木板至少为多长？

解析以B为参考系，则滑块A的折合质量为

①

A相对B的初速度VAB=V1+V2，当A相对B静止时在B上相对滑动位移最大.

②

注：本题的常规解法为相对运动或等效完全非弹性碰撞模型，但计算过程较上面的解法略复杂.

图3

例2如图3所示，一人手持质量为m的小球，乘坐在热气球下的吊篮里，气球、吊篮和人的总质量为M，气球以速度v0匀速上升，经过时间t0后接到小球.若人手在抛接小球时相对吊篮的位置不变，求抛球过程中人做的功.

解析以M为参考系

①

m相对M以速度v′竖直上抛

③

④

以地面为参考系，设抛出重物后M的速度变为v2，m对地的抛出速度为(v′+v0)

浮力和重力平衡，系统动量守恒：

m(v′+v0)+Mv2=(M+m)v0

人做的功等于系统动能增量：

例3 (2015中科大自主招生)两个带点小球所带电量相等，符号相反.质量分别为m和2m，初始时刻，它们间距离为d，小球2m静止.小球m沿着与两者连线垂直的方向以速度v运动.随后，它们多次处于相距3d的位置上，求小球所带的电荷量.

知识准备：

解析(1)以2m为参考系，m绕2m转动，轨迹为椭圆，2m处于椭圆的焦点.m的初始位置距离2m最近为d，距2m最远点r满足：

r≥3d

①

②

设m运动到椭圆轨道最远点的速度为v′

由角动量守恒有：mvd=mv′r

③

对椭圆长轴两端点列能量守恒：

④

(2)两球多次处于相距3d，故m不能到达无穷远.

⑤

折合质量的引入，为两体碰撞、类碰撞，双星系统，特殊简谐运动等问题的分析求解提供了一个明显便捷的计算方法，适用范围广，但在应用的过程中应重点关注的是：折合质量的概念仅适用于孤立的两体系统，即不受外力的系统.若系统受外力，本解法将不再使用.