复杂螺旋锥齿轮齿面的数学建模研究

刘井玉， 刘斌， 孙平， 陈俊

（1.浙江广厦建设职业技术学院 信息与控制学院，浙江 东阳322100，2.黑龙江省机械科学研究院，哈尔滨150040）

0 引 言

在机械设备中，螺旋锥齿轮被大量广泛的应用，在行业中占有重要的地位。随着我国高铁、飞机、汽车、航空航天、大型工程机械设备等各个领域的快速发展，对螺旋锥齿轮技术的需求更加紧迫，也提出了更高的要求[1]。

螺旋锥齿轮的数学模型是齿轮信息化技术、虚拟装配、啮合和接触性能分析、有限元分析、精度分析检测、三维实体建模和制造技术等各种应用的首要基础，建立其精确且通用的数学模型意义重大。

目前从实体建模的角度探讨齿面模型的文献较多，大体可概括为大两类：1）以齿轮啮合理论为基础，通过分析加工过程刀具与工件的相对运动关系，推导加工形成的齿面数据[1-6]；或通过仿真加工后实体模型来生成齿面数据。这种方法通用性差、精度低，没有理论正确的模型做依据，难以得到可广泛应用的完整正确的理论方程，误差分析和加工调整也很困难。2）通过对齿面曲线的形成理论和曲线曲面的参数分析，再借助计算机实体造型的手段，来生成齿面数据[7-10]，这种建模可以得到相应的数学模型，发展前景好。

由于螺旋锥齿轮的啮合过程和齿面轮廓的复杂性，致使现今各建模方法还太过繁杂，没有形成统一、全面和正确的理论体系。因此探讨一种从齿面本身的结构和生成原理出发，不依赖其它手段，建模过程分块独立、通用性强、可移植和扩展，易于计算机程序实现的齿面建模方法，对推动相关理论体系的形成意义重大。

1 球面渐开线曲面生成原理

锥齿轮上的渐开线齿廓齿面，可看成是在基圆锥上生成的球面渐开线曲线族曲面。如图1所示，对于基圆锥上的一点P1，起始时发生平面A与基圆锥面相切于P1点，则可认为起始时点P1固联于发生面A上，当发生面A在基圆锥上做纯滚动，且滚动到切于基圆锥上的P3点时，P1将形成一条球面渐开线，点P1为渐开线的起始点。渐开线也可看成是由以基圆锥顶点G为圆心，以P1G为半径的圆，在基圆锥上做纯滚动，起点P1随着该圆滚动形成的球面渐开线，文中也称该滚动的圆为发生圆A。

图1 球面渐开线生成原理

当基圆锥上的无数个起始点形成一条过圆锥顶点G的直线时，则对应无数个发生圆滚动，生成直齿锥齿轮的直齿球面渐开线齿廓曲面。如果起始线为在基圆锥上的螺旋线，如图1（b）所示的Lβ，则生成锥齿轮的螺旋球面渐开线齿廓曲面。

对于直齿圆锥齿轮，总可以定义：某一轮齿的渐开线齿面的起始线为在oxz平面上的一条素线，如图1（a）中的L1线，这样可以简化齿面的求解模型。而对于螺旋锥齿轮，则起始线为基圆锥上的一条螺旋线，因此某一条渐开线的起始点P1为螺旋形起始线上的某位置点。本文以图1（b）所示的螺旋起始线为前提，来讨论球面渐开线齿廓曲面模型的通用求解模型，并给出直齿和螺旋齿锥齿轮的球面渐开线齿廓曲面的建模实例。

2 基圆锥面方程

图1（b）中，建立基圆锥坐标系oxyz，oxy平面为基圆锥底平面，基圆锥顶点为G。可推得以相对转角θ和坐标z为参数的基圆锥方程为：

式中：θ为基圆锥上的点相对于起始点P1在水平面上的相对转角，如图1中的P3点相对起始点P1的转角，θ∈[θP1，θmax]；θP1为起始点P1在oxy平面上的转角，角θP1及起始点P1的位置由起始线方程确定，如螺旋起始线Lβ等；r0为基圆锥底圆半径；δ为基圆锥顶角；σ为锥顶半角，σ=δ/2。

在图1（b）中，设起始点为P1（xP1，yP1，zP1），其偏转角为θP1，P1点对应的基圆半径为rP1。当发生圆A滚动到相切于P3点时，生成了段球面渐开线，可求得P3（xP3，yP3，zP3）点的坐标为：

式中，rP1=rP3=r0－zP1tan σ。

基圆锥面在P3点的法矢量N→P3，也即是发生圆A在P3点时的法矢量为

3 发生圆A及球面渐开线方程

发生圆A滚动到P3点时，发生圆A的法矢量为N→P3，圆心为G（xG，yG，zG）点，发生圆A的半径为RGP3，则：

把式（7）和式（8）代入式（6）得：

把式（10）和锥顶点G（xG，yG，zG）坐标代入式（9），则得到点P2（xP2，yP2，zP2）的坐标为

式（11）就是对应起始点P1，以θ为参数的球面渐开线的方程，式中的θP1和rP1对应于起始点P1的位置参数，由起始线Lβ的方程确定。

4 直齿锥齿轮球面渐开线齿面方程

如图1（a）所示，直齿锥齿轮的起始线L1为一条在oxz平面的基圆锥素线，以z为参数的该直线方程为：

则rP1=r0-z·tan σ，θP1=0，代入式（11），则得到以θ和z为参变量的直齿锥齿轮球面渐开线齿廓曲面方程为

5 螺旋锥齿轮球面渐开线齿面方程

如图1（b）所示，基圆锥上的起始线为螺旋角为β的螺旋线Lβ，P1为Lβ上的任意点，根据文献[11]，可得以z为参数的基圆锥上的起始螺旋线Lβ的方程为

式中，rP1（z）=r0-z·tan σ；

可以设z=0时，θ0P1=0，如图1（b）所示，则：

把式rP1（z）和式（16）代入式（11），则得到以（θ，z）为参数的螺旋锥齿轮球面渐开线齿廓曲面方程为

6 结 论

1）曲面的形成过程也是其数学模型的形成过程，据此思路，在详尽地分析了球面渐开线生成原理的基础上，给出了从基圆锥上螺旋起始线上的点开始，从曲线到曲面逐步分块建模，再以参数耦合求得齿廓曲面的建模方法。

2）建立了直齿和螺旋锥齿轮的球面渐开线齿廓曲面的数学模型，验证了所述方法的通用性和正确性。

3）起始线的螺旋特性可任意设计，因此可求解变螺旋角的螺旋锥齿轮的齿廓曲面。

4）曲线、曲面或起始螺旋线的各自建模过程都可独立引用，通用性强，易于计算机程序实现。

5）在获得完整的齿廓曲面模型基础上，可进一步对复杂齿面的齿轮信息化技术、虚拟装配、啮合和接触性能分析、有限元分析、精度分析检测、三维实体建模和制造技术等各种应用技术进行研究和探讨。