土体不排水抗剪强度非平稳性对深基础极限承载力影响的可靠度分析

周旭辉，李 睿，吴勇信*

(1.河海大学 土木与交通学院，江苏 南京 210024；2.中国电建集团 华东勘测设计研究院有限公司，浙江 杭州 311122)

浅基础的地基承载力是一个典型的工程问题。目前国内外已经有诸多学者对浅基础的地基承载力进行了研究[1-3]。然而，深基础在岩土工程尤其是近海工程中也有着广泛的应用，特别是在软粘土海床土壤中，离岸的基础可能会深深嵌入土壤中[4]。现实情况中，由于不同埋深处的土体往往会经历不同的地质、环境和物理化学作用，因此土体参数呈现出一定的空间变异性。目前，诸多学者已将土体参数的空间变异性引入到边坡[5]、隧道[6]等工程中。此外，土体的沉积也会导致土体参数在竖直方向呈现出沿深度变化的趋势，通常将这种土体参数在深度方向的非稳定性趋势称为非平稳性。有大量实测数据表明土体的不排水抗剪强度参数有随深度线性增加的趋势[7-9]。因此，非平稳随机场模型与实际情况更为接近。关于深基础的地基承载力，大部分已有的研究主要是基于土体强度参数随深度线性增加的均质土体地基[10]或平稳随机场模型[11]展开的。祁小辉等[1]曾指出土体不排水抗剪强度的平稳随机场会使对浅基础地基失效概率的估计产生偏差。针对基于非平稳随机场的深基础地基承载力的研究较少见报道。

本文探讨了不排水抗剪强度参数的非平稳性对深基础地基承载力的影响。因此，本文在考虑了不排水剪切强度空间变异性的基础上，建立了不排水抗剪强度均值和标准差随深度线性增加的非平稳随机场模型，并与非线性有限元分析结合，探讨了基于非平稳随机场的深基础地基承载力的统计规律。本研究选用的土体参数随机场与实际情况更接近，可准确反映深基础地基承载力。

1 非平稳随机场的模拟方法

本文所涉及的非平稳随机场是不排水抗剪强度均值和标准差随深度线性增加的非平稳随机场，由图1可知非平稳随机场的不排水抗剪强度参数的空间分布规律，可以通过以下步骤生成均值和标准差随深度线性增加的非平稳随机场的不排水抗剪强度参数。

图1 均值随深度线性增加的非平稳随机场Fig.1 Non-stationary random field with linearly increasing mean strength

第一步：本研究采用谱表现法[12]展开离散不排水抗剪强度均值μs=10.0 kPa，标准差为σs=3.0 kPa，波动范围θh=50.7 m，θv=3.8 m，符合Lognormal分布的初始平稳随机场。将初始不排水抗剪强度参数s0i赋予到每一个模型单元，i=1，2，…，n，表示第i个单元。

第二步：根据单元埋深z，用公式(3) (可由公式(1)和(2)推导得到) 的调整系数对每个单元的不排水抗剪强度参数进行调整，得到均值和标准差随深度线性增加的非平稳随机场的不排水抗剪强度szi：

(1)

(2)

(3)

图2 su非平稳随机场的一次实现(单位：kPa)Fig.2 A typical realization of non-stationary random field of undrained shear strength

其中，μsuz表示模型底部的不排水抗剪强度均值，μsu0表示地表不排水剪强度均值，z表示单元中心点的埋置深度，H表示模型的高度，M表示衡量非平稳程度的无量纲量，由式(1)定义。

图2表示的是一次非平稳随机场的实现得到的不排水抗剪强度空间分布云图，图中颜色浅的部分表示低强度区域，颜色深的部分表示高强度区域。由图2可以看出不排水抗剪强度有明显的随深度线性增加的规律。

2 随机场的有限元模型

2.1 确定性分析

本文利用非线性有限元软件ABAQUS 6.12对二维平面应变条件下的地基承载力进行分析。本文选用了Li 等[13]文献中的算例，考虑埋深D位于地表下2B的不排水黏土中的刚性基础 (宽B，高h)，如图3所示。基础宽B=20 m，高h=4 m，基础埋深D=2B，基础为理想刚性体。土体和基础的接触面为完全约束的接触类型，这符合基础在不排水黏土中的力学行为。模型边界条件为左右两端固定x方向位移，底部固定所有方向位移，在基础底部节点上施加竖直向下的位移直至土体承载力稳定在破坏值(该位移值约为基础宽度的6%)。

如图3所示，土体模型宽6.4B，高6B，在本研究中，网格单元水平方向尺寸为2.0 m，竖直方向尺寸为0.5 m，这样既保证了计算精度，也避免了网格划分过多使计算量过大的问题。在条形基础附近3B×2B范围内，网格被进一步划分为大小为0.5 m×0.5 m的单元。

图3 深基础模型及其边界条件Fig.3 Model and boundary conditions of a buried footing

选取一组参数进行确定性分析，该组参数为Li 等[13]文献中基础埋深为2B时不排水抗剪强度参数为常量的情况，即su=μs=10.0 kPa。粘土弹性模量E与不排水剪切强度su的关系始终满足E/su=500，即E=5 MPa，泊松比υ=0.49，服从摩尔-库伦屈服准则。

提取基础底部的承载力，对其进行无量纲化处理，得到无量纲地基承载力Nc，可表示为：

(4)

其中，RFi为条形基础的地基承载力。利用该组数据得到的地基极限承载力为2 154.36 kN，即Nc=10.77。这与Li等[13]的结果Nc=10.74十分接近。这验证了本文计算地基承载力的模型的正确性。

此外，还选取了三组非平稳参数进行确定性分析，分别为M=1.0，M=2.0，M=3.0时不排水抗剪强度参数随深度逐渐增加的三种情况，即相同埋深处的所有单元的su相等，且su随深度逐渐增加，这三种情况的确定性分析得出的地基极限承载力分别为2 900.17、3 632.12、4 358.91 kN。

2.2 不确定性分析

本文利用蒙特卡洛模拟研究考虑参数在竖直方向的非平稳性时深基础地基承载力均值、标准差和地基失效概率的变化规律。由第1节可知，土体参数的均值和标准差随深度不变的平稳随机场目前应用较多，而土体参数的非平稳性对土体的力学行为有较大的影响，因此有必要对土体参数非平稳性对地基承载力的影响进行研究。

首先考虑不排水抗剪强度均值和标准差随深度变化的非平稳随机场，分别取M=1.0，2.0，3.0三种非平稳随机场情况。对于非平稳随机场的情况，为了比较不排水抗剪强度的非平稳程度对地基承载力的影响，地表的不排水强度均值μsu0均为10 kPa，不排水抗剪强度的均值随深度的变化符合图1中的斜直线，即分别随深度线性增加至20、30、40 kPa，su的变异系数始终为COV=σs/μs=0.3。同时，为了便于和su不随深度变化的情况作对比，考虑了μs随深度保持不变，即M=0的平稳随机场情况。此外，为了便于和su随深度变化的工况作对比，还考虑su均值和标准差与非平稳随机场相同的平稳随机场，该平稳随机场的μs和σs分别取为非平稳随机场模型中部的su均值和标准差，即M=1.0，2.0，3.0的非平稳随机场分别对应μs=15.0 kPa，μs=20.0 kPa和μs=25.0 kPa的平稳随机场。

3 计算结果与分析

3.1 深基础在随机地基中的破坏机制

在本文中，对有限元计算分析提取的基底承载力进行处理后得到无量纲地基承载力Nc，即：

(5)

RFi为第i次模拟的地基承载力，B为基础宽度，B=20 m，su,z=0 m为地基表面z=0 m处的不排水剪切强度，M=0.0，1.0，2.0，3.0四种随机场的su,z=0 m均值为10 kPa。

在接下来的分析中，1 000次蒙特卡洛模拟的非平稳随机场的计算结果将与1 000次蒙特卡洛模拟的平稳随机场的计算结果进行对比，以比较不同平稳程度的不排水抗剪强度对土体地基承载力的计算结果的影响程度。

图4给出了1 000次蒙塔卡罗模拟中考虑不排水抗剪强度均值和标准差随深度变化的三次典型实现 (M=1.0，2.0，3.0) ，以及不排水抗剪强度均值和标准差随深度不变时的一次典型实现 (M=0.0)，图中浅色区域表示不排水抗剪强度较低的区域，深色表示不排水抗剪强度较高的区域。可以看出，每一次蒙特卡罗模拟实现的非平稳随机场模拟效果都呈现出不排水抗剪强度随深度增加的效果，且对比M=0.0，1.0，2.0，3.0的不排水抗剪强度云图发现，不排水抗剪强度随深度增加的趋势愈加明显。表明本文随机场模拟方法有效。

从M=0.0，1.0，2.0和3.0的1 000组计算工况中各选取一组具有代表性的工况，最大剪应变云图如图5所示。由图5可知，相比于M=0.0的地基剪切面，M=3.0时基础底部延伸出的土体剪切面数量更少，分布位置在更浅层的区域。结合这两个工况的不排水抗剪强度云图来看，当M=0.0时，剪切破坏面最深发展至破坏面Ⅰ和破坏面Ⅱ处，但当M=3.0时，破坏面Ⅰ和Ⅱ对应位置处的地基中分布着不排水抗剪强度更高的土体，限制破坏面发展至这些高不排水强度区域，导致在非平稳随机场(M=3.0)地基中并未形成破坏面Ⅰ和破坏面Ⅱ。因此，非平稳随机场的深基础破坏面比平稳随机场破坏面分布在更浅层的土体区域的原因是非平稳随机场底部的高不排水强度土体限制了破坏面延伸至埋深的土体中。诸多学者的研究都佐证了这一规律的合理性[13-14]。

图4 不同非平稳程度的su随机场的四次实现(单位：kPa)Fig.4 Four typical realizations of different degrees of non-stationary random fields of undrained shear strength

图5 不同非平稳程度的su随机场的剪切面分布Fig.5 Different shear planes for different degrees of non-stationary random field of undrained shear strength

3.2 不同非平稳程度随机场的深基础地基承载力

基于蒙特卡洛模拟可由公式(4)计算得到每个工况的深基础地基承载力，图6所示为考虑su随深度线性增加时，不确定性分析的地基承载力均值和标准差和其对应的确定性分析的地基承载力随非平稳程度变化的情况。表1列出了图6中各不确定性分析及其对应的确定性工况的无量纲承载力。由表1可知，无论不排水剪切强度的均值和标准差随深度变化的程度如何，不确定性分析的结果都小于确定性分析的结果。由图6可知，地基承载力随不排水剪切强度非平稳程度的增加而线性增加，且不确定性分析中承载力随su非平稳程度增加的幅度小于确定性分析中的承载力增加幅度。这是因为对于不确定性分析中的随机场而言，su具有空间变异性且其空间分布具有随机性，使在相同埋深处的地基中不确定性分析的土体比确定性分析(相同埋深处的su为确定值)多存在强度更低的软弱区域，从而有利于产生贯通破坏面，因此随机非均质场地的承载力小于确定性分析场地的承载力，且随机非均质场地地基承载力随su非平稳程度增加幅度小于确定性均质场地。

图6 非平稳地基的确定性分析和不确定性分析的地基承载力随非平稳程度变化趋势Fig.6 Variation of the bearing capacity of deterministic analysis and undeterministic analysis with degree of non-stationary

表1 不确定性分析的非平稳地基的地基承载力均值Nc mean和其对应的确定性分析的地基承载力NcTab.1 The mean bearing capacity Nc mean of undeterministic analysis and the corresponding deterministic bearing capacity Nc for non-stationary field

图7所示为考虑su均值和标准差随深度线性增加时，地基承载力的均值和标准差随非平稳程度变化的情况。由图7看出，基础埋深为2B时,地基承载力均值和标准差都随着M值的增加而线性增加。以图5中四种工况为例，M=0.0，1.0，2.0和3.0的地基承载力随su非平稳程度的提高而增加，分别为Nc=9.70，13.12，16.48，29.80，但是M=1.0，2.0和3.0的破坏面分布却十分接近。这是因为，一旦su呈现出非平稳性，底部高强度土体的限制使破坏面就很难再向下发展，使非平稳地基的破坏面近似。因此，破坏面形态不再成为决定承载力大小的因素，而破坏面经过处的土体不排水剪切强度大小成为影响承载力大小的主要因素。随着非平稳程度的增加，破坏面经过的地方su越大，使地基承载力越大。

图8给出了不同非平稳程度的地基承载力概率密度函数曲线 (PDF)，这四条曲线是通过对地基承载力数据进行对数正态分布拟合得到的。通过χ2检验证明了承载力服从对数正态分布，因此对数正态分布能较好地表示承载力的分布特征。由图9可知，当不排水抗剪强度的非平稳程度较高时，PDF 曲线更宽，地基承载力分布范围更大，即变异性更大，且地基承载力也更大。图8的结果与图6和表1呼应，印证了上文的结论。

为了研究地基承载力随M值增加的趋势与基础埋深的关系，此外还研究了4B埋深基础在M=0.0，1.0，2.0，3.0情况下的地基承载力，得到计算结果如图7。由图7可知，同样的，对于4B埋深基础而言，地基承载力均值和标准差都随着M值的增加而线性增加，但是标准差和均值的增加幅度都比2B时大。这是因为4B埋深处的su大小比2B埋深处的su对非平稳程度的增加更加敏感，即非平稳程度增加ΔM，4B埋深处的su均值增大量Δμsu比2B埋深处的Δμsu更大，由于COV随深度的不变性，标准差的增大量Δσsu也遵循此规律，这就使得4B埋深基础的承载力均值增大量Δμqu及差异性增大量Δσqu更大。因此，4B埋深基础的地基承载力均值和标准差随非平稳程度增加的趋势均大于2B埋深基础。由图7得出以下结论：(1) 地基承载力随着土体不排水抗剪强度的非平稳程度的提高而增加，且基础埋深越大，增长趋势越明显，即对于埋深较深的基础，将不排水抗剪强度的非平稳性提高相同的强度，它带来的承载力的提升效果优于埋深更浅基础的；(2) 地基承载力的差异性随着土体不排水抗剪强度的非平稳程度的提高而增加，且基础埋深越大，增长趋势越明显。

图7 考虑非平稳随机场的2B和4B埋深基础的地基承载力均值和标准差随非平稳程度的变化趋势Fig.7 Variation of mean and standard of bearing capacity for footings buried at 2B and 4Bdepth with degree of non-stationary as considering non-stationary random field field

图8 不同非平稳程度的随机场的地基承载力概率密度函数曲线Fig.8 Probability distribution function curve of bearing capacity for different degrees of non-stationary random fields

3.3 不同非平稳程度随机场的地基失效概率

土体地基的破坏可以通过极限承载力或地基沉降进行判别[15]，本文是通过地基承载力进行判别的。根据Griffith等[16]的研究可知，随机场土体地基的破坏可以看作是地基承载力小于对应的确定性分析的地基承载力，即qu/qu,det<1。然而，将地基承载力小于确定性分析的地基承载力作为破坏标准过于严苛。事实上，通常通过引入安全系数FS，将随机场地基承载力小于qu,det/FS作为破坏标准。对于服从对数正态分布的地基承载力而言，地基失效概率，即地基承载力小于qu,det/FS的概率的计算公式为：

(6)

式中，Φ是正态累积分布函数，λqu和ξqu分别为地基承载力取对数后的均值和标准差，qu,det是确定性分析的地基承载力，M=0.0，1.0，2.0和3.0对应的确定性分析的地基承载力qu,det分别为107.72、145.01、181.61、217.95 kPa。

图9给出了su均值和标准差随深度线性增加时，地基极限承载力累计概率分布函数曲线 (CDF)，由图10及式 (5) 可知不同的安全系数对应的地基失效概率。当FS=1.1时，M=0.0，M=1.0，M=2.0，M=3.0对应的失效概率分别为37.5%，39.4%，40.9%和41.7%；当安全系数增加至1.2时，对应失效概率分别降低至8.1%，9.9%，11.1%和11.9%。而当FS=0.9时，M=0.0，1.0，2.0，3.0对应的失效概率分别为98.5%，98.3%，98.1%和97.9%。可以看出，考虑不排水剪切强度均值和标准差随深度线性增加时，在相同的安全系数水平下(FS>1)，地基失效概率随着su非平稳程度的增加而逐渐增加，说明非平稳程度对地基失效概率有明显的影响。传统的地基稳定设计要求失效概率控制在10-2～10-3范围内，当考虑不排水抗剪强度均值和标准差随深度线性增加时，即使对于M=3.0这种非平稳程度较高的地基而言，不需要较高的安全系数即可达到地基承载力可靠度要求。如当M=3.0时，安全系数为1.4时对应的地基失效概率就可达到1.8×10-3，符合地基稳定的失效概率控制目标。

为比较不排水抗剪强度随深度线性增加的随机场模型与传统的不排水抗剪强度平稳随机场模型，将平稳随机场的不排水强度均值分别取M=1.0，2.0，3.0非平稳随机场模型中部的不排水抗剪强度，即μs=15.0 kPa，μs=20.0 kPa和μs=25.0 kPa，蒙特卡罗模拟次数均为1 000次，其他参数取值与不排水抗剪强度非平稳随机场相同。通过对比计算结果发现，传统平稳随机场的地基失效概率p(qu1)，各非平稳随机场的失效概率均大于它们对应的平稳随机场的失效概率，且su非平稳程度越高，失效概率相差越大。如当FS=1.1时，M=0.0，1.0，2.0和3.0的地基失效概率分别为37.5%，39.4%，40.9%和41.7%，各平稳随机场失效概率与M=0.0时的失效概率相同，均等于37.5%。这表明，深基础地基稳定性设计中使用传统的平稳随机场模型得到的经济效果和稳定性效果与实际情况有偏差。因此，若不考虑不排水抗剪强度均值和标准差随深度线性增加，仅用传统的平稳随机场进行地基承载力计算，会低估地基的失效概率，且这种误差随着非平稳程度的增加而增加。为此，在地基勘探工作中应重视不排水抗剪强度的空间分布特性，在基础设计中不应仅仅将分析范围内的地基土的不排水强度平均化后再用传统的平稳随机场模型计算，这将高估地基的可靠度。

图9 su均值和标准差随深度线性增加时地基极限承载力累计概率分布函数曲线Fig.9 Cumulative probability of bearing capacity as mean value and standard deviation of su linearly increase with depth

图10 各个安全系数对应的地基失效概率随su非平稳程度的变化趋势Fig.10 Variation of the failure probability at different factors of safety with the degree of non-stationary of undrained shear strength

4 结论

1) 土体不排水抗剪强度参数的非平稳性对地基承载力有明显影响，地基承载力随非平稳程度的提高而线性增加，且地基承载力的差异性也随非平稳程度的提高而增加。

2) 不排水抗剪强度参数的非平稳程度提高地基承载力的效果受基础埋深影响，基础埋深越大，地基承载力随非平稳程度增大而增大的幅度越大，即较强的非平稳性带来的深基础地基承载力提升效果远大于浅基础。

3) 非平稳程度对地基失效概率有影响，在相同的安全系数水平下 (FS>1)，深基础的地基失效概率随着非平稳程度的提高而逐渐增大，但是都不需要较高的安全系数即可使失效概率控制在目标范围内。

4) 对于深基础而言，各非平稳随机场的地基失效概率均大于它们对应的平稳随机场的地基失效概率 (FS>1)，即平稳随机场模型会低估具有非平稳性的地基土的失效概率，且非平稳程度越大，估计误差也越大。