浅谈均值不等式的应用

吉林师范大学 王昱行

一、利用均值不等式证明不等式

利用均值不等式证明不等式时，应注意以下几点：

2.如果式子不具备均值不等式的特点，那么需要通过加减项的方法拼凑成可用均值不等式的形式。

3.灵活应用均值不等式的变形形式，注意均值不等式的变形应用。

例1 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1。

二、利用均值不等式求最值

在利用均值不等式求最值时，必须同时满足以下三个条件：一证、二定、三相等。即：

①x，y都是正数。

②积xy（或和x+y）为常数（有时需要通过“配凑、分拆”凑出定值）。

③x与y必须能够相等（即等号能够取到）。

特别地，当条件中等号在此不成立时，此时不能运用均值不等式来解题，而是应该应用函数的单调性来求最值。

三、利用均值不等式比较实数大小

1.注意均值不等式成立的前提条件。

2.注意“1”的代换。

3.合理配组，反复应用均值不等式。

本文列举了常用的有关均值不等式的三种题型，对于已给定的条件，具体用哪种方法求解，需要首先分析一下给定条件的结构和特点，然后再考虑选用什么方法比较妥当。因此，在解决相关问题时，要多观察，多总结。