巧用几何直观，化难为易

黄晓瑜 江苏省昆山市千灯中心小学校

《义务教育数学课程标准2011 版》指出：“几何直观主要是利用图形描述分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。”几何直观是一种意识，是一种思维方式，也是一种教学手段，它的主旨是加深学生对数学的理解。尤其是在小学阶段，几何直观的巧用更能有效地把小学生难于理解、复杂的数学问题转化成简单、清晰、形象的数学问题。

一、巧埋伏笔，让问题迎刃而解

在学习3 倍数的特征前先学习2、5 倍数的特征，教材的安排是让学生通过列举2 和5 的倍数，然后观察这些倍数的特征，学生很容易观察出这些倍数的特征，教学目标也很容易达成。但是等到学习3 倍数特征的时候，学生就会发现之前列举、观察的方法不好用了，教师也觉得无从去引导学生从其他角度去观察，教学显得很被动，到最后勉强得出3 倍数特征，这样的教学显然是索然无味的。

我们不妨在教学2、5 倍数特征的时候，就巧用几何图形为后面教学埋下伏笔。尝试引导学生思考：2、5 倍数的特征为什么只要看个位就可以了？比如任意一个三位数都是由整百整十和个位数组成，整百整十确定是2、5 的倍数，所以只要看个位上的数是否是2、5 的倍数。以214 为例，它是由2 个百，1 个十和4 个十组成的，即200+10+4。

200 是2、5 的倍数，10 是2、5 的倍数，4 是2 的倍数，所以214是2 的倍数，而4 不是5 的倍数，所以214 不是5 的倍数。其实计算214÷2，就是在计算（200+10+4）÷2=200÷2+10÷2+4÷2，214÷5=（200+10+4）÷5=200÷5+10÷5+4÷5。如果前期教学中作了这样的伏笔，那么在教学3 倍数的特征时，学生会自然而然想到从数的组成方面去思考。214÷3=（200+10+4）÷3，我们知道，1 个百除以3 会余1，2 个百除以3 会余2,3 个百除以3 没有余数，依次循环……1 个十除以3 会余1，2个十除以3 会余2，3 个十除以3没有余数，依次循环……200 除以3 余2，2 和10 合起来得12 除以3 没有余数4 除以3 有余数，所以214 不是3 的倍数。

有心的老师会发现，在教学判断一个非整百的年份是平年还是闰年时，除了简单的用非整百年份除以4，还可以只看非整百年份的后两位是否是4 的倍数，那这是为什么呢？假如一个四位数的年份，千位上的整千数除以4 没有余数，百位上的整百数除以4 也没有余数，所以前两位数可以不看，只要看后两位数是否是4 的倍数，这样道理也就显而易见了。

二、巧画几何直观，揭开易错题神秘的面纱

四年级下学期学完“运算律”后，学生遇到这样两道题时，容易混淆并产生错误解法。题1：（240+330）÷30，题2：360÷（40+20）。

因为在学习分配律时，学生都知道乘法有分配律，也知道除法没有分配律，但是，对于为什么（a+b）÷c可以等于a÷c+b÷c,而a÷（b+c）为什么不等于a÷b+a÷c 的算理上还是知之甚少。我们不妨用长方形长、宽及面积的关系来帮助学生理解。

题1 图：

题2 图：

方法1：（240+330）÷30 =570÷30 =19（米）

方法2：（240+330）÷30 =240÷30+330÷30=8+11=19（米）

题1图由左右两个长方形组成，左边长方形的面积是240 平方米，右边长方形的面积是330 平方米，这两个长方形的宽都是30 米，如图求大长方形的长是多少米？可以先算出总面积再除以宽，或者用两个长方形的面积除以宽，分别求出两个长方形的长，再把两个长加起来，通过验证，两种答案相同。

题2 图，求两个长方形的长一共有多少米？只能用长方形的面积除以各自的宽，得出各自的长，然后再把各自的长相加，即360÷40+360÷20，想一想，如果这时用360÷（40+20） ，计算的就不是两个长方形的长一共是多少米了。显然，360÷40+360÷20 不等于360÷（40+20）。

三、巧摆算理，让计算不再涩而无味

从中年级起，我们会发现这种辅助于算理的几何直观图形渐渐淡出学生的视野，更加注重算理的文字表达。但我们教师可以利用几何直观图形巧摆算理，让计算不再涩而无味。比如，三年级下学期学习两位数乘两位数，这对学生来说是一个阶梯式的递进，如果教师只是简单照本宣科，学生往往不理解竖式的结构及其原理。以14×12 的竖式为例，如果教学时结合矩阵图给学生解释，那么其算理就清晰明了。

五年级下册教材中有一课是关于探讨和的奇偶性，如果单纯的从数的角度列举、猜想、验证，虽然通过验证学生也能掌握奇偶性，但大部分学生也只是浮于表面，知其然而不知其所以然。这时，如果教师能巧摆几何直观，能达到“一针见血”的效果。

用小正方形代表奇数和偶数，奇数是两个两个配对不成功、有落单的情况，偶数则是配对成功的，用1 个正方形代表奇数，用2 个叠起来的正方形代表偶数。

(1）表示奇数+偶数，结果有落单的，所以是奇数。（2）奇数+奇数，配对成功，所以是偶数。（3）偶数+偶数，配对成功，所以也是偶数。探讨多个数时，学生自然而然会想到，无论偶数的个数是几个，结果都能配对，所以只要看奇数的个数，如果奇数的个数是偶数，落单和落单的能配对，如果奇数的个数是奇数，那么不管怎么配，总有一个落单。

显然，几何直观的运用远不止这些，自觉运用几何直观是一种意识，更是我们教师日常教学的一种思维方式，经常性地站在儿童形象思维的角度构造几何直观，巧用几何直观，能使很多复杂难懂的数学问题转化成简单易懂的数学问题，让学生真正爱上数学。