匡正教学观念，强化教学过程

钱德春

摘要：从一份九年级上学期数学期末考试试卷中一道有关概率概念理解试题的命制背景和内容分析出发，透视师生理解偏差背后教师教学观念偏差与教学过程弱化的问题，从而提出改进建议：改变教学观念，着眼学生发展;重视教学过程，促进经验积累与内化。

关键词：概率试题 教学观念 教学过程

2020年1月，笔者为某学校命制了一份九年级上学期数学期末考试试卷。其中的一道题及其答案如下：

有下列说法：①概率为0的事件不一定是不可能事件;②试验次数越多，某事件发生的频率越接近概率;③事件发生的概率与实验次数无关;④在抛掷图钉的试验中针尖朝上的概率为1/3，表示3次这样的试验必有1次针尖朝上。其中，正确的是（C）

A.①②

B.②③

C.①③

D.①④

这是一道有关概率概念理解的题目。阅卷前，有教师反映这道题的答案有误，应该是B。阅卷中，也发现有很多包括不少平时数学学习成绩比较好的学生选B。这说明他们对概率概念的理解有偏差。下面从这道题的命制背景和内容分析出发，透视师生理解偏差背后的教学问题，进而提出教学改进建议。

一、试题命制背景

（一）现实社会发展需要

统计与概率是一门古老而又新兴的学科，在科技与生产、人口与发展、保险与金融、气候与减灾、生物信息、社交网络、风险决策、地震预测等多个领域都有着广泛的应用。在大数据时代背景下，统计与概率成为现代社会不可或缺的重要工具之一。

（二）课堂教学增效需要

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将“统计与概率”作为课程内容的四个重要部分之一。对初中学段的概率内容，要求：“能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率。知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率。”同时，特别强调概率等重要内容、方法、思想“需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握”。而《普通高中数学课程标准（2017年版）》相比2003年的《普通高中数学课程标准（实验）》，也提高了“统计与概率”的比重与要求。

目前，不少教师对“统计与概率”的教学，没有加以足够的重视。教学过程一带而过，新授课以习题练习、试题测试代替教学，甚至被上成数学计算课、公式技巧课，先“讲”概率公式，再“用”概率公式。比如，直接让学生用树状图或表格列出所有等可能的情况，再计算概率。而没有从概率的本质人手，引导学生经历概率观念的形成过程，理解概率是事件的固有、本质属性。

（三）学生素养发展需要

2018年，江苏省教育厅进行了义务教育学生学业质量监测。在八年级数学学业质量分析报告中，泰州市的学生在各个数学关键能力上不同水平的人数比例分布柱状图如图1所示。从中可以看出：在数据分析能力上达到“优秀”水平的学生人数比例仅为56%，是6个数学关键能力中最低的——事实上，从全省的统计数据中也能得出这一结论。

基于此，笔者试图通过这道有关概率概念理解的试题，引导教师正确认识“统计与概率”内容的教学价值，改变教学观念和教学行为，将“统计与概率”的教学落到实处。

二、试题内容分析

本题说法③正确，说法④错误。对此，选B的师生没有疑义。概率是事件固有的、本质的属性。事件发生的概率是一个常数，无论是否进行这种试验，也无论试验多少次;试验的目的在于用事件发生的频率来估计概率。所以，说法③正确。而说法④很容易通过抛掷图钉的试验找到反例，加以否定。

本题说法①正确，说法②错误。对此，选B的师生的理解截然相反。他们觉得：概率为0的事件一定是不可能事件;试验次数越多，某事件发生的频率越接近概率。下面，我们来分析这两个说法：

（一）概率为0的事件一定是不可能事件嗎？

我们知道，概率计算有古典概型与几何概型之分。它们的相同之处是等可能性，即随机试验所有可能出现的基本结果是等可能的。但它们又有各自的特征：

古典概型的特征是有限性，即所有可能出现的基本结果只有有限个。例如，抛硬币只有2种基本结果，掷骰子只有6种基本结果。这时，某事件发生的概率就等于该事件发生可能出现的基本结果数（通常记为优）除以相应随机试验所有可能出现的基本结果数（通常记为n）。因此概率为0时，该事件发生可能出现的基本结果数一定为0，即该事件不可能发生。

几何概型的特征是无限性，即所有可能出现的基本结果有无限个。对此，苏科版初中数学教材虽然在九年级上册第4章第3节《等可能条件下的概率（二）》中只用一个“转盘转动，指针指向”的例题做了简单的说明，并且没有给出一般化的概念和算法（这一内容正常情况下是放在高中教学的），但是在后面的阅读材料《一类事件概率的计算》中做了进一步解释：

如下页图2，在正方形ABCD内任取一点O，连接OA、OB。如果正方形ABCD内每一点被取到的可能性都相同，分别求△OAB是钝角三角形、直角三角形和锐角三角形的概率。

该问题就是典型的几何概型问题：①正方形ABCD内有无限个点;②每一点出现的可能性相同。一般的计算方法为：

设试验结果落在某个区域S中每一点的机会均等，用A表示事件“试验结果落在S中的一个小区域M中”，那么事件A发生的概率P（A）=M的面积/S的面积。

据此，事件“△OAB是钝角三角形”“△OAB是直角三角形”和“△OAB是锐角三角形”发生，分别相当于点O恰好落在区域S中以AB为直径的半圆内、上、外……其中，P（△OAB是直角三角形）=AB的面积/正方形ABCD的面积=0。可见，事件“△OAB是直角三角形”发生的概率是0。但这并不意味着这个事件不会发生。事实上，它可以发生。也就是说，概率为0的事件不一定是不可能事件。

（二）试验次数越多，某事件发生的频率越接近概率吗？

这个问题可以通过抛掷硬币的试验来寻求答案。在相同条件下重复抛掷均匀的硬币，推想计算可得“正面朝上”的概率为0.5。而实际试验时，抛10次，可能有5次“正面朝上”，即频率为0.5;抛20次，可能有9次“正面朝上”，即频率为0.45。显然，并非试验次数越多，某事件发生的频率越接近概率。

其实，这个问题从苏科版初中数学教材中也能找到答案。八年级下册第8章第3节《频率与概率》中有两个表格。第一个表格（见表1）是自18世纪以来一些统计学家做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据。教材由此得到结论：当试验次数很大时，“正面朝上”的频率在0.5附近摆动。第二个表格（见表2）是某批足球质量检验获得的数据。教材由此提出引导学生思考的问题，然后得到结论：通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定。

由此可见，此类试验必须具备两个要素：一是相同条件下（“重复试验”就是强调等可能性），二是试验次数足够多。得到三个结论：一是“在某一个常数附近摆动”，二是“趋于稳定”，三是无论是否进行试验，概率是确定的。

此外，还可以通过2017年北京市中考数学卷第10题，说明教材中的结论。具体题目如下：

下页图3显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果。下面有三个推断：①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以，“钉尖向上”的概率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620。其中合理的是（ ）

这道题提供了真实的试验背景（素材）。结合图3，利用上述“两个要素”和“三个结论”，不难判断其正确答案应为B。

现在回到文章开头试题的说法②，可知它缺少“相同条件下”和“试验次数足够多”的条件。而且，即使满足条件，结论也应该是频率“在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定”，而不是“越接近概率”。

三、师生理解偏差背后的教学问题

为什么师生会出现上述理解偏差呢？除了教师学科素养和研究精神的缺乏之外，从教学的层面看，还能透视出一些一般性问题：

（一）教学观念偏差：功利思想较浓

数学来源于对生活与生产中有关现象的研究，又回到生活与生产中去。数学教学的重要目的是让学生体会数学与现实的联系，提升学习兴趣，感悟数学文化，提升数学素养。

但是，不少教师功利思想较浓，长期以来，只围绕考试进行教学，考什么就教什么，脱离所教内容的现实背景，把学生当作考试的机器、知识的容器。笔者曾将上述教材中的阅读材料和表格呈现给该学校的一些学生，他们毫无印象、一脸茫然。这说明他们从未接触过这些内容，进而说明教师在进行“选择性教学”。这会导致学生的认知碎片化，理解不深入，数学视野得不到拓宽，实践能力得不到提升，学习兴趣不高，更不用说数学素养的发展和理性精神的形成了。

（二）教学过程弱化：“短平快”为王

俗话说，百闻不如一见，百见不如一做。诚然，教学时，不可能所有知识都让学生经历、复制前人的发现与发明过程。但是，对于适合探究性学习的内容，应该尽可能为学生提供自主探究、独立思考、相互交流的时间和空间。

然而，现实教学中，一些教师更倾向于走捷径，对数学概念和原理一带而过，缺少引领学生经历知识发生与发展的过程，更多地让学生机械、反复地操练，试图达到立竿见影的效果。殊不知，如果学生没有经历操作、体验、思考和感悟的过程，如何达到真正地理解数学知识、领会数学本质的教学目标呢？当遇到概念等的理解或面临新情境、新问题时，又怎能避免“败走麦城”的结局呢？

四、教学改进的建议

（一）匡正教學观念，着眼学生发展

中学数学教师不考虑应试肯定不现实，数学学习也离不开做题以及知识和技能的应用。但学生是活生生的人，是一个个生命个体，让学生会做题、得高分不是教学的全部。德国哲学家雅斯贝尔斯认为，教育是“一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂”的事情，它的本质是促进人的全面发展。

为此，数学教师要树立正确的教学观念，淡化功利思想，做到“有所为，有所不为”。“有所为”即全面性与引导性：充分利用教材丰富的素材，引导学生开展观察、操作、猜想、验证、归纳、举例、论证、反思等学习活动，实现数学知识、技能、方法、经验、情感、态度的同步发展。“有所不为”即选择性与开放性：留出足够的时间与空间，让学生抓住学习重点，突破学习难点，消除认知疑点;注意活动内容和方式的开放性，让学生自主探究、发现、创造、建构、解决，自主成长，从而让学生的生命之花绽放。

（二）强化教学过程，促进经验积累和内化

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：“既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程。”文本中“过程”这个词出现了196次，这说明“过程”何等重要！人的认知是一个波浪式前进、螺旋式上升的过程。我们的教学过程应成为助力学生前进与上升的“慢”过程，针对合适的内容，为学生搭建探究、思考、交流的“脚手架”，引导学生生长知识、发展能力。

例如，教学“频率与概率的关系”时，要设计实践活动让学生真正做“用频率估计概率”的试验，在试验活动中加深对频率与概率关系意义的理解，感悟概率的本质，同时积累研究性学习的活动经验。如抛掷硬币的试验，要舍得花时间组织学生开展操作、观察、思考、交流、评价等活动。

1.抛掷试验。四人一组，分别负责：抛掷硬币;观察抛掷是否“规范”，即姿势是否相同，抛掷角度和力度是否相同，确保“相同条件下”的“等可能性”;记录抛掷次数n，正面朝上的频数m;计算正面朝上的频率m/n。继而完成表3。

2.数据分析。根据表3中的数据繪制试验的“频率一次数”图。根据图中曲线的变化趋势，对试验次数n、正面朝上的频数m以及频率m/n进行分析，对频率与概率的关系做出判断。

3.交流讨论。将自己的判断和同伴分享、交流，在生生互动、教师点评中对概率相关问题形成正确的认识与理解。

通过这样一个过程，学生自然能够深化对概率与统计观念的认识、对相关知识和方法的理解，并能够举例说明自己对问题的理解，同时也为相关的探究活动积累了基本的活动经验。

另一方面，我们知道，经验是人对活动的个体体验，具有不稳定性、可变性和差异性。“经历”不等于“获得”，经验也不代表能力。郑毓信教授指出：“数学学习中不应该‘为动手而动手，而应当更加重视对于操作层面的必要超越，努力实现‘活动的内化。”因此，数学教学还应该引导学生深度学习，由“经历”向“获得”转化，将不稳定的经验转化为稳定的能力。

例如，学生经历了抛掷硬币的试验，并通过观察、分析，归纳了试验的特点与结论后，可以让学生仿照这个试验独立设计一个试验，并通过分析做出自己的判断。这是一个“理解-迁移-创新”的学习过程，是由浅层学习向深度学习的转变。

最后，需要说明的是，虽然几何概型的一般化概念和算法正常情况下是高中数学的教学内容，但是在初中阶段，教师也可以引导学生经历如下学习过程，从而理解“概率为o的事件不一定是不可能事件”——

教学苏科版初中数学九年级上册第4章第2节《等可能条件下的概率（一）》，学生掌握了古典概型（教学中不必提到该词语）的概率计算公式P（A）=m/n后，教师引导学生思考公式中m、n和P（A）的范围。学生很容易根据其意义发现：m、n是自然数，0≤m≤n，0≤P（A）≤1。于是，教师指出并引导：这说明m、n有下限，即最小值，那么它们有没有上限，即最大值呢？对此，学生稍作思考（教师可以稍加提示），不难发现：作为事件A发生可能出现的基本结果数和相应随机试验所有可能出现的基本结果数，m和n都可能没有上限，即有无限个，比如转转盘和掷飞镖的试验。这时，教师可以激发学生的认知冲突：这样的情况，事件A发生的概率该如何计算呢？在学生充分探索后（无论是否得到正确的解决方案，但通常会有一些学生能够得到），教师可以让学生阅读教材中的阅读材料《一类事件概率的计算》，并尝试做一做转转盘和掷飞镖的试验……