一些智力游戏问题的数学模型及其计算机求解

顾晨熙 于洁 袁浩铭 王梓璇 靳昊蓬

摘要：国内只有相关智力游戏问题的数学模型相关论文，数学模型作为当代社会大学生把数学与社会问题完美结合的载体，利用计算机求解，做出编程，让智力游戏有规律可循。并可以将复杂的游戏，快速的求解出来，并可以培养大家的创新思维。因此对于智力问题的数学模型以及计算机求解的研究是十分必要的，是具有社会意义的。我们在此将阐述智力游戏的数学模型及计算机求解的联系与优点，也给出一个例子为了证实这个项目可存在的必要性，也期待着大家不断的进行探索求解。

关键词：数学建模;智力游戏;Matlab;加权函数

1 引言

智力游戏是指那些可以通过进行一定的逻辑或是学习数学、物理、化学专业知识，甚至是自己设定的原理来完成我们一定工作任务的小游戏。现在的游戏发展成为知识的多样性，品种繁多。

数学建模是利用数学教学工具解决企业实际发展问题的重要手段。也就是说，这意味着我们要掌握数学的基本原理，数学将整理为一定的数学模型的一些规则，并尝试使用这个模型的建立解决问题的方法和规则的概念来解决一些生活问题。

智力游戏，顾名思义会以游戏的形式来进行，使游戏者能够在游戏的进行中获得思维上的锻炼，进而提高自身的逻辑分析能力。一些优秀的智力游戏，其娱乐性质也十分可观。在今天，智力游戏愈加纷繁复杂，为了探索智力游戏的内在规律，我们可以试图利用数学知识建立游戏的模型，从而让游戏有规律可循，并且能求解出来，而不是只是单单的靠逻辑思维去思考。即探索出智力游戏与数学建模之间的内在联系，并使用数学建模方法解决一些智力游戏问题，尝试使用计算机建模工具来计算出智力游戏的结果。这样就可以在面对更为复杂的智力游戏时，将它视为是一种模型，从而可以利用找到的规律来将其化为统一的模式进行求解。甚至我们可以把一些智力游戏当做是一类问题去思考，从而建立出游戏模型，并把这一类智力游戏的模型应用在其他类似问题上进行求解。这便是我们本次的研究期望解决的课题。

2 智力游戲问题的数学建模与计算机求解优点

柏拉图曾经最早提出游戏对于儿童成长的重要性。福禄培尔也曾经提出游戏对儿童教育的重要性，通过游戏可以培养儿童理解认识世界并且表达客观规律的能力，恰当的游戏还可以让儿童去了解整体与部分的关系与秩序。由此可见，先哲们曾经很早就意识到游戏对于儿童成长的重要性，那么在科学知识日益丰富的今天，逐渐演变而成的智力游戏，除了具有更高的娱乐性质外，对于儿童思维能力的锻炼和逻辑分析能力的提高，也能够做出巨大的贡献。所以说，我们试图研究一些智力游戏的内在逻辑，然后来尝试用数学建模，将智力游戏模型化来解决其他类似的问题。

通过模型可以为所要考虑的问题提供一个参考轮廓，指出不能直接看出的结果。花节省时间和费用.模型使人们可以根据过去和现在的信息进行预测，可用于教育训练，训练者们可以通过模型来计算出他们决策的最终结果，而不需要经过实际的一系列流程才能得到最后的结论。数学模型能够将一个问题的概念抽象概括出来，也就是直接表明和揭示问题的本质，因此可以利用数学建模的方法来使用计算机解决一个问题中由于主要变量和因素原因而导致的改变，并清晰地了解到这个变量对于其他问题的影响。

数学建模培养了我们对于不同学科方向的深入思考，由于数学建模的赛题往往涉及多个学科或者交叉学科，我们会对新的专业产生初步的理解，在主动查阅大量文献并完成解题后，我们就能对当前专业方向有十分全面的理解，隐约中促进我们对不同专业方向的理解，对我们未来的抉择产生至关重要的影响。

3 智力游戏的数学模型举例

对于前期准备，我组论文采用扑克牌的问题，然后通过计算机求解，借此建立智力游戏与数学模型的联系。之所以采用扑克牌问题，理由如下：1。由于扑克牌共有52张，因为此数组基数够多，所以可以产生多组数据。2。该问题因为基数多的原因，使得问题变得比一般的智力游戏更复杂，更能凸显出复杂问题同样具有规律这一观点，从而建立其与数学模型的关系。

问题重塑：

我们首先将一副扑克牌去掉两个王一共是52张，我们将其排成一列，然后我们把所有的牌放在一摞并且正面朝下。左手拿起26张，右手拿剩余的部分。接着我们要进行左手一张右手一张相交插入变成一摞。这样我们反复洗牌4次。排列结果是：红桃A，黑桃A，方片A，梅花A，红桃2，黑桃2，方片2，梅花2，…，红桃K，黑桃K，方片K，梅花K。请问原先排列的花色和序号是什么？排列结果与原排列之间有什么样的关系？

解题思路：

把52张扑克看成一维数组，运用逆向思维的方法排除原先的序号。设数组a=[1，2，3，4，…，52]，对数组进行从新排列。例;i/4=k.......p，i=1，2，…，52。k为牌上数字，p为1，2，3，4分别对应图案：红桃，黑桃，方片，梅花 。设加权函数2108914.png，数组b和数组c，2108921.png获得的扑克牌原始非零右手的阵列，并且在数组b其他部分是零，以指示卡的左手，从而使后的再结合放进去恢复一个数组，那么此过程重复4次，得到原来的排列，所以序列可以推断出引入的原始阵列的颜色。

解题过程与结论：

将52张扑克牌看成一个一维数组，1，2，3，4分别对应红A，黑A，方A，梅A，依次类推。这样我们就可以用数学方法建立洗牌前后的关系了。设数组a=[1，2，3，4，…，52]，加权函数f（n）=（（-1）^n+1）/2。

如果a*f（n）==0，我们就把这些数拿出来放到数组b中;

如果a*f（n）！=0，我们就把这些数拿出来放到数组c中;

然后把数组b和c重新组成一组新的排列，b中的数在前，c中的数在后;

重复上述过程4次，就可得到最初的排列。

最后按照思路的想法，我们不断运用逆向思维，还原成扑克牌的排列和花色。

按照上面的方法我们就可以运用Matlab把洗牌后的扑克牌的交叉的牌分离开，分别放到数组b和c中，然后在组成一个新的一维数组，经过Matlab程序求解可以快速的直接结论。结论为：设n次洗牌后排列结果为 [1，2，3，4，…，52]，则第n次洗牌前的j张牌为q=2^（j-1）*n（mod 52）

我们之所以采用这个问题，也是因为上述两条理由，普通的智力问题不足以体现出数学模型的实用性，而较为高端复杂的智力问题又不太贴近实际，而扑克牌是人们生活中随处可见的事物，又因为其本身的特质，更贴近本组所研究的问题，因此，我们选择了扑克牌问题。

我们之所以研究智力游戏与数学建模的联系，是因为构件数学模型虽然听起来十分复杂，但实际应用上却极为广泛，同一种模型可以应用到许多问题上，而常见的智力游戏，其中所蕴含的规律性，十分适合构建数学模型，而这些智力问题大多数也十分贴近生活，因此借由智力游戏与数学模型的联系，更是能深入研究数学模型与生活的联系。

计算机时代正在不断推进，在现代生活中数学建模也是不可缺少的一部分。因此我们项目把数学建模和计算机求解问题结合一起可以让智力游戏有着更完美的解释方法以及在此过程中快乐的体验。与传统的智力游戏或数学游戏不同，我们用计算机数学建模工具matlab，Lingo，Maple等，将其模拟，并在一些传统的智力游戏中加入数学模型，使其更具逻辑性，计算性与随机性。从而达到探索出使用数学建模方法来解决一些智力游戏的途径的目的。提供更多的结果可行性，并找到此过程中的最优解决办法，这将在未来的智力游戏或者数学建模中提供更加便利的结果。（指导老师：郝妍）

参考文献：

[2] 杨梅.关于智力游戏中的数学建模研究[J].同行，2016（06）.