室温原子气室中基于电磁诱导透明和吸收效应的微波电场测量

刘笑宏， 梁 洁， 陈常军， 黄 巍， 廖开宇

(华南师范大学物理与电信工程学院, 广州 510006)

由于原子体系具有可重复、精确和稳定性高等优点，基于原子体系的原子钟、原子磁力计等技术在全球定位系统和基本物理常数的测量领域得到了广泛应用. 同时，基于原子体系的电场测量(特别是微波电场测量)技术也得到了迅速发展. 电场的精密测量在材料检测、高分辨率雷达、射电天文观测以及卫星通信等领域均有重要应用.

近几年发展起来的里德堡原子电场计是一种新型的量子测量技术，它通过将微波场强信息转化为高精度的原子谱线信号，微波电场大小可直接溯源，从而实现微波电场的自校准测量. 1999年，人们首次利用里德堡原子测量了微弱静电场[1]. 2012年，SHAFFER研究组利用微波耦合相邻的2个里德堡能级，实现了基于里德堡原子的微波电场测量[2]，可测量的最小电场强度为8 μV/cm，灵敏度为30 μV/(cm·Hz1/2). 2014年，RAITHEL研究组在室温铷蒸气室中利用里德堡原子的电磁诱导透明(EIT)-Autler-Townes(AT)(EIT-AT)分裂效应进行了毫米波的检测[3]，填补了高频毫米波校准的技术空白. 2016年，ANDERSON等[4]和SIRKO等[5]通过Floquet理论分析里德堡EIT信号，实现了对强微波场的测量，测得最大电场为230 V/m，这极大提高了原子微波电场计的测量范围. 而JIAO等[6]最近利用量子超外差的方法，从实验上探测到了100 nV/cm数量级的微波场强响应，突破了探测光场的散粒噪声极限. 理论上，原子电场计的灵敏度受到原子标准量子极限的限制，有可能探测到10 pV/cm数量级的电场. 值得注意的是，原子电场计的探头是玻璃封装的原子气室,它对待测微波电场产生的干扰小，可忽略不计. 所测微波的中心频率取决于原子的能级间隔，而原子是场强测量的最小单位，所以测量的空间分辨率不受电磁波长的限制. 里德堡原子电场计还可标定目前难以校准的毫米波和太赫兹波场强.

本文采用里德堡原子量子干涉效应的微波电场测量方法，通过对双光子EIT的理论计算，进一步对三光子EIT及电磁诱导吸收(EIA)效应测量微波电场强度的方法进行理论分析，讨论了原子电场计的散粒噪声极限，对基于这一方法实现小型集成化器件的可行性进行说明.

1 双光子电磁诱导透明效应

1.1 里德堡原子电场计

里德堡原子具有很大的电极化率，相邻里德堡能级间隔处于微波波段，对应的跃迁偶极矩很大(正比于主量子数n2)[10]. 通过微波场耦合相邻的里德堡能级产生AT分裂效应，利用里德堡原子的EIT-AT分裂效应，实现对微波电场的精密测量. AT分裂效应产生的频率间隔Δf与ΩMW成正比，ΩMW是里德堡能级跃迁的拉比频率

(1)

迄今为止，基于原子的微波电场测量主要使用87Rb或133Cs碱金属原子，其原子能级结构和实验装置如图1所示. 微弱的探测光和共振的耦合光反向入射于原子气室中，使气室中基态原子耦合到里德堡态. 当探测光频率与|1〉到|2〉的能级形成共振，并且耦合光的加入使得|2〉到|3〉共振跃迁时，分别从|1〉到|2〉、|3〉缀饰态的激发幅度变化相反，导致了这2个激发路径上发生破坏量子干涉. 从而出现透明窗口，探测光透射增强(即EIT). 微波电场导致里德堡能级发生劈裂，从而使EIT峰分裂为2个峰. 微波电场引起的吸收属于量子干涉过程. 原子微波电场测量方法的灵敏度主要受众多因素影响，包括：激光线宽、渡越时间展宽、探测光和耦合光之间的多普勒失配、散粒噪声以及EIT过程中里德堡态的衰减与退相率.

图1 四能级系统的能级结构和实验装置

Figure 1 The energy level structure and experimental setup of a four-level system

1.2 理论模型与分析

采用半经典理论[11-12]的处理方法对系统进行完整的理论计算，其中激光电磁场用经典的麦克斯韦方程来处理，而原子系统则用量子力学的薛定谔方程来处理. 在研究电磁场与物质相互作用时，鉴于电偶极相互作用相比磁偶极相互作用要强得多，因此本文仅考虑电磁波的电场作用[13]. 关于经典电磁波的传输，本文以角频率为ωp的探测场与均匀原子介质相互作用的系统为例，采用经典电磁场来描述探测场：

(2)

其中，kp=ωp/c是探测光沿着+Z轴方向传输的真空波矢，ωp是探测光的载波角频率，电磁场沿x轴方向极化，x是偏振单位矢量. 在原子介质中，光波的波矢k=nkp=nωp/c，其中，折射率n可定义为：

(3)

(4)

其中ω是载波频率ωp的失谐量. 由此可得探测光的出射光强为[14]

Iinexp{-Im[χ(ω)]kpL}.

(5)

图1A为四能级系统:角频率为ωp的探测光同基态|1〉与中间态|2〉发生共振跃迁；角频率为ωc的耦合光作用于中间态|2〉与里德堡态|3〉发生共振跃迁；角频率为ωMW的微波电场与2个里德堡态之间的跃迁(|3〉↔|4〉)发生共振. 该系统的哈密顿量可表示为：

H=H0+H1,

(6)

其中，H0是自由哈密顿量，可表示为

H0=ћω1|1〉〈1|+ћω2|2〉〈2|+ћω3|3〉〈3|+ћω4|4〉〈4|.

(7)

由原子系统与光场发生偶极相互作用，可得相互作用哈密顿量H1：

(8)

其中，d是原子的电偶极矩，-e是电子电荷(e为正值)，r是外层价电子的位移矢量，E是光场电场强度；c.c.是前三项的复共轭项. 在|1〉、|2〉、|3〉、|4〉基矢下，相互作用哈密顿量H1可表示为

(9)

其中，Ωp、Ωc和ΩMW分别表示探测光、耦合光和微波电场的拉比频率，h.c.表示前3项的厄米共轭项. 在旋转波近似下，有效哈密顿量可表示为

(10)

其中，Δp、Δc和ΔMW分别表示探测光、耦合光和微波电场的失谐. 考虑到中间态和2个里德堡态的有限寿命，在唯象中引入能级退相率，有效哈密顿量可以用矩阵形式表示为

(11)

其中，δ2=Δp+iΓ2/2，δ3=Δp+Δc+iΓ3/2，δ4=Δp+Δc+ΔMW+iΓ4/2，而Γ2、Γ3和Γ4分别表示|2〉、|3〉和|4〉的衰减率. 在光场驱动和耗散条件下，原子演化过程可用薛定谔方程表示为

(12)

(13)

原子对探测光的介电响应是由极化强度P决定的. 线性极化强度与电场强度EP有关，可表示为P=χε0EP，其中，ε0是真空介电常数，χ是原子介质的线性极化率.

(14)

其中，N是系统中的原子数密度(即单位体积内的原子数). 探测光的拉比频率Ωp可定义为

由于微波电场测量是在室温环境下进行的，蒸汽池中的原子具有麦克斯韦-玻尔兹曼(Maxwell-Boltzmann)的速度分布：

(15)

(16)

其中，kp=ωp/c和kc=ωc/c分别是探测光和耦合光的波矢，c是真空中的光速. 为了最大限度地减小信号的多普勒展宽，在实验中采用探测光和耦合光进行反向传输，如图1B所示，方程(16)中的正负号表示2束光的正反向传输. 在计算中考虑多普勒效应时，需要对整个速度范围求和，并按照麦克斯韦-玻尔兹曼(Maxwell-Boltzmann)分布进行加权，则线性极化率χ表示为：

(17)

其中,

σ2=Δp+kpv+iΓ2/2，

σ3=Δp+kpv+Δc-kcv+iΓ3/2，

σ4=Δp+kpv+Δc-kcv+ΔMW+iΓ4/2.

由于χ=Re[χ]+Im[χ]，其中Re[χ]和Im[χ]分别是极化率χ的实部和虚部，Re[χ]反映了原子介质的色散特性，Im[χ]反映了原子介质的吸收特性. 吸收与透射光谱有关，而色散与原子介质的折射率有关. 本文利用原子介质的吸收特性对微波电场的强度进行测量.

图2是Rb原子的三能级EIT以及不同微波拉比频率ΩMW下的透射光谱. 图2A为探测光透射率随失谐量Δp的变化，其中Ωp=2π×1 MHz、Ωc=2π×2 MHz. 图2B为耦合光透射率随失谐量Δc的变化，其中Ωp=2π×1 MHz、Ωc=2π×2 MHz.

图2 探测光透射率随失谐量Δp的变化和耦合光透射率随失谐量Δc的变化

由于双峰的频率间距Δf取决于所施加的微波电场场强[15]，即相应跃迁的拉比频率

ΩMW=μMWEMW/ћ=2πΔf，

(18)

其中，μMW为相应跃迁的电偶极矩，EMW为待测微波电场强度，ћ为普朗克常数. 虽然实验中2束激光反向传播可以减弱多普勒效应，但仍然无法忽略多普效应带来的影响. 当扫描探测光时，拉比频率ΩMW与分裂间隔Δf之间相差1个因子(p/c)；当扫描耦合光时，该因子为1. 这里p和c分别对应于探测光和耦合光的波长. 修正关系后即可求得微波电场强度：

(19)

或

(20)

2 三光子电磁诱导透明及吸收效应

实验的能级图如图3A所示. 从基态到Rydberg能级的3个跃迁被称为探测、驱动和耦合跃迁. 所有激光源均可用自制的外腔式二极管激光器. 以Rb原子为例，将探测光(波长为780 nm)锁定在|1〉→|2〉跃迁，其失谐量为Δp，原子速度为零. 采用饱和吸收光谱法锁定驱动光(波长为776 nm)，其中驱动光相对于探测光反向聚束Rb蒸气室中心，驱动光选定状态从零速度的|2〉向|3〉跃迁，频率失谐量为Δd. 耦合光(波长为1 260 nm)在|3〉→|4〉跃迁上进行扫描，其偏移频率为Δc，与探测光方向相反.

图3 五能级系统结构和实验装置

Figure 3 The energy level structure and experimental setup of a five-level system

用光电二极管探测光的功率并将其作为Δc的函数来测量. 根据相关磁跃迁的平均值以及各光束的束腰大小进而计算各光束的拉比频率. 然而由于近高斯空间光束分布的平均值、光束重叠中可能存在的缺陷以及蒸气室壁中的透镜效应而可能导致光束尺寸增大，实际的有效拉比频率要比理论值低得多，从而在测量时存在一定的误差.

三束激光严格重叠在Rb蒸气室(长宽均为7.5 cm)中. 首先，由驱动光与探测光反向传播形成双光子EIT，对应于|1〉↔|2〉↔|3〉 3个能级，通过微调探测光和驱动光之间的重叠以及探测光的功率进而优化EIT信号；然后，在与探测光相反的方向上加入耦合光(图3B). 由于探测光及驱动光的频率被锁定，通过扫描Δc，在驱动光与探测光形成的双光子EIT背景上观察到EIA或EIT信号.

根据图3A所示的五能级系统进行建模. 假设一个闭合衰减方案：|2〉以Γ2=2π×6 MHz的速率衰减到|1〉；|3〉以Γ3=2π×0.66 MHz的速率衰减到|2〉；|4〉以Γ4=2π×10 kHz的速率衰减到|2〉；|5〉以Γ5=2π×10 kHz的速率衰减到|2〉. 探测光、驱动光、耦合光和微波的拉比频率分别为Ωp、Ωd、Ωc、ΩMW. 另外在计算拉比频率时，本文忽略磁子能级结构，而不考虑m平均角矩阵元素. 其各自对应的零速度原子场失谐量为Δp、Δd、Δc、ΔMW，原子场失谐量定义为场频率减去原子跃迁频率. 考虑到多普勒效应，失谐量Δi(i=p,d,c,MW)，在与原子共同运动的参考系中，

Δp→Δp-kpv，

Δd→Δd+kdv，

Δc→Δc+kcv，

ΔMW→ΔMW-kMW‖v，

(21)

其中，v表示沿探测光方向的原子速度，波数ki定义为正离子. 激光方向上微波电场的波矢分量kMW‖很小，可以忽略不计. 根据式(11)可得：

(22)

(23)

式(23)可作为原子速度v和所有场强度、场失谐量和衰减参数的函数. 探测光的吸收系数为

(24)

其中，ωp=kpc,nv表示原子体积密度,d21表示探测光电偶极矩阵元,Ep表示探测光电场振幅,P(v)表示室温蒸气室中归一化的一维麦克斯韦速度分布.

通过选定波束方向、拉比频率和失谐量，产生适合测量里德堡能级位置和位移的EIT和EIA信号(图3B). 文献[8]研究了Cs在Δd=0的情况下探测场与驱动场及耦合场反向传播的构型. 本文研究Rb的情况与该文献的不同之处在于，在麦克斯韦速度分布的大范围内，差分探测多普勒频移(kd-kp)v接近于0，因为在研究Rb的情况下，探测场和驱动场波长几乎相同，这导致更强的EIA信号. 为了方便比较，图4展示了Δd=0时5S1/2↔5P3/2↔6S1/2↔nPJ级联型的Rb原子EIA(a)曲线，其中相应波长为p=780 nm、d=1 366 nm、c=740 nm. 这种情况下的EIA相对较弱，类似于文献[8]中Cs原子的级联型特征. 从而进一步证明：当波长p=780 nm和d=776 nm且Δd=0时，Rb原子具有最强的EIA(b). 同时我们对非零Δd的EIT情况也做了进一步研究.

根据模拟结果T(Δc)=exp(-βl)，其中铷泡长度L=7.5 cm，铷泡温度300 K，各个 Rabi频率分别为Ωp=2π×10 MHz，Ωd=2π×10 MHz，Ωc=2π×5 MHz. 当微波电场关闭且Δd为零时对EIA的影响以及Δd=-2π×30 MHz时对EIT的影响如图5所示. 结果表明：非零Δd处的EIT半高全宽比Δd=0时EIA的小，且EIT峰值有相应的频率偏移.

图4 Δd=0时不同模型下的EIA

图5 EIA和EIT在不同ΩMW下的AT分裂及相应电场强度

在三光子Rydberg EIT/EIA中观察到的AT分裂近似于微波Rabi频率ΩMW，根据微波场强公式依次求得微波电场强度. 图5给出了EIA和EIT情况下不同微波测量拉比频率关于Δc的函数和不同分裂值ΔAT对应的微波电场强度变化. EIT信号具有较窄的线宽，弱微波场下的AT分裂比EIA的更清晰. 在这一模型中，AT分裂数据可以通过调整蒸气室相对于所用微波喇叭的位置,实现对微波电场的绝对校准.

3 原子电场计的散粒噪声极限

本文所描述的里德堡原子电场测量方法本质上是一种频率测量方法，频率测量的灵敏度最终受到原子散粒噪声的限制，其最小可测电场为

(25)

(26)

即里德堡原子电场测量的原子散粒噪声极限方程[16]. 选择测量积分时间T′=1 s，在标准量子极限下，基于原子的微波测量灵敏度极限为

(27)

基于里德堡原子的电场测量方法，灵敏度存在诸多限制因素，例如在测量过程中因原子碰撞而改变的时间T2、几何效应以及渡越时间展宽；再如当待测微波电场的波长减小时，为了减小射频散射效应，气室的尺寸也需要随之减小，使Nat降低，渡越时间展宽增加，从而降低灵敏度. 所以气室尺寸越小，提高灵敏度越困难，这成为进一步小型化研究的一大难点. 实际上，在达到原子散粒噪声极限之前，测量灵敏度主要受到探测光的散粒噪声限制. 光场散粒噪声极限与光场强度、探测器参数等因素有关，借助量子超外差或光场压缩态等方法可以突破光场的散粒噪声极限.

4 结论

在室温原子气室中，基于电磁诱导透明和吸收效应的微波电场测量是一种全光式的测量方法，测量过程不对待测场产生干扰. 它具有自校准、覆盖范围广、灵敏度高和连续测量的优点，是一种新型微波电场计量方法. 以Rb原子为例，对原子气室中的双光子Rydberg-EIT以及三光子Rydberg-EIA/EIT进行了理论研究. 相比双光子EIT系统，三光子EIA/EIT系统的低成本全红外激光二极管系统实验装置无需锥形放大模块和倍频模块，更适用于测量系统的小型化、集成化以及室外复杂的测试环境. 在室温原子气室中，基于电磁诱导透明和吸收效应的微波电场测量还能对微波频率仪器进行场强校准，测量范围可拓展到亚THz和THz等频段.