第二类与Gamma函数有关的Hardy型不等式的等价条件

钟建华, 曾志红, 陈燕清, 陈 强

(1. 广东第二师范学院数学系， 广州 510303; 2. 广东第二师范学院学报编辑部， 广州 510303;3. 广州市聚德中学， 广州 510305; 4. 广东第二师范学院计算机科学系， 广州 510303)

(1)

其中，常数因子kp为最佳值.

当k1(x,y)=1/(x+y)时,kp=π/sin(π/p),式(1)变为经典Hardy-Hilbert积分不等式[2]:

(2)

近10余年来，根据分析理论及Hilbert型不等式理论，式(2)有很多重要推广和应用[3-8].

(3)

其中,常数因子φ(1/p)为最佳值.

2009年,文献[9-10]给出了式(1)、(2)的一个重要的推广:

k(ux,uy)=uk(x,y) (u,x,y>0)

(4)

其中,常数k(1)是最佳值.

(5)

其中,常数因子φ(σ)为最佳值. 当σ=1/p时,式(5)变成式(3).

2013年,文献[11]通过增加一个特殊条件研究了式(4)及式(5)的等价形式:

(6)

h(u)=k

(7)

结合Γ函数[12]的性质,得到了一些与Γ函数有关的且为最佳常数因子的第二类Hardy型积分不等式的几个等价式.

1 重要引理

引理1若参数,μ,β,γ,σ满足γ>-1,σ,μ>-β,σ+μ=,h(u)如式(7)所定义,则

(8)

证明由引理条件及函数h(u)的性质,在积分过程中作变换u=ev,t=(μ+β)v,有

证毕.

当σ=时,有μ=0,k2(σ)=Γ(γ+1)/βγ+1.

引理2设h(u)如式(7)所定义,若,μ,β,γ,σ满足引理1条件,如果存在常数M2>0,且任意函数f(x)和g(y)在(0,)上非负可测,则不等式

(9)

成立,从而有σ=σ1,且M2≥k2(σ),这里,k2(σ)为式(8)所定义.

证明(应用反证法)首先，假设σ1<σ,对于n≥1/(σ-σ1)(n),考察2个非负可测函数

设u=xy,得

(10)

则

J2∶=

设u=xy,μ1=-σ1,根据Fubini定理[13]及式(9),有

M2J2=M2n<.

(11)

综上所述,可得σ=σ1，则μ=μ1,因此由式(11)推得

(12)

证毕.

2 主要结果

定理1若参数,μ,β,γ,σ满足引理1条件,h(u)如式(7)所定义,则以下命题等价：

(i)存在一个正常数M2,使当(0,)上任意非负可测函数f(x)满足时,以下具有非齐次核的第二类Hardy型积分不等式成立:

(13)

(ii)存在一个正常数M2,使当(0,)上任意非负可测函数f(x)和g(y)满足和时,以下不等式成立：

(14)

证明(i)→(ii):若式(13)成立,由Hölder不等式[14],有

(15)

则由式(15)、(13)可得到式(14).

(ii)→(iii):由于式(14)成立,则(ii)满足引理2的条件,则由引理2及式(9)可得到σ=σ1.

(iii)→(i):若σ=σ1成立,设u=xy,y>0,结合式(8),对以下的权函数进行运算:

(16)

由加权的Hölder不等式[14]及式(16),当y>0时,有

(17)

假设存在y>0,使式(17)取等号,则由文献[15],必存在不全为零的常数A和B,使得

即式(13)成立,所以命题(i)～(iii)均等价.

当σ=σ1时，假设(i)、(ii)的常数因子M2≤k2(σ),则式(14)成立,从而式(9)成立. 这时由引理2得到M2≥k2(σ),由假设推出M2=k(σ),即式(14)的常数因子为最佳值. 式(13)的常数因子M2=k2(σ)也为最佳值,否则由式(15)及σ=σ1,得到式(14)的常数因子M2=k2(σ)不是最佳的,这是矛盾的. 证毕.

在定理1中,作变换y=1/Y,设G(Y)=Y×g(1/Y),μ=-σ,μ1=-σ1,然后把符号对[G(Y),Y]重新换成[g(y),y],则有以下关于齐次核:

的第二类Hardy型积分不等式：

推论1若参数,μ,β,γ,σ满足引理1条件,则以下命题等价：

(i)存在一个正常数M2,使当(0,)上任意非负可测函数f(x)满足时,以下具有齐次核的第二类Hardy型积分不等式成立：

(18)

(ii)存在一个正常数M2,使当(0,)上任意非负可测函数f(x)和g(y)满足和时,以下不等式成立：

(19)

(iii)μ=μ1.

致谢：衷心感谢杨必成教授的细心指导.