核心素养视角下的一道平行四边形例题变式教学研究

周家杰

【摘要】本文结合八年级学生现阶段所掌握的知识，对一道几何习题进行变式探究.希望通过变式教学，培养学生在直观想象和逻辑推理等方面的核心素养。

【关键词】变式教学 核心素养

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】A

【文章编号】1992-7711（2020）14-021-02

一、原题导入

（一）原题及出处

新人教版《数学》教材八年级（下）P46例题3：如图，一ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形。

（二）分析与解答

1.背景分析：本题是一道平行四边形的性质与判定的典型综合题，有多种证法，考察学生灵活运用知识解决问题的能力。

2.思路分析：通过AE=AF，证明OE=OF，最后利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明。

3.解题过程：

4.考点分析：本题考察了平行四边形的性质与判定。

二、变式探析

【变式1】

1.思路分析：

（2）根据全等三角形的性质得AE=CF，由AE上BD，CF⊥BD得AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明。

2.解题过程：

3.考点分析：本题考查全等三角形与平行四边形的性质和判定。

4.设计意图：

在第（2）问中，平行四边形的每一种判定都对应一种甚至多种证法，学生可在对比中找到较巧妙的证法。

【变式2】

如图，一ABCD的对角线AC、BD交于点o，E、F分别是AO、CO的中点，连接BE、DE、DF、BF

（1）求证：四边形EBFD是平行四边形;

（2）求证：当AC=2BD时，四边形EBFD是矩形。

1.思路分析：

（1）由平行四边形的性质得OA=OC、OB=OD，因E、F为中点，得OE=OF，可证四边形EBFD为平行四边形。

（2）由条件得BD=EF，可证四边形EBFD为矩形。

2.解题过程：

（1）证明：在口ABCD中OA=OC，OB=OD，

∵E、F分别是AO、CO的中点，∴OE=OF，

∴四边形EBFD为平行四边形;

（2）由（1）可知OE=1/2OA，OF=1/2OC，

∴OE+OF=1/2AC，即EF=1/2AC，

∴AC=2EF. ∵AC=2BE. ∴EF=BD

∵EBFD为平行四边形，∴四边形EBFD是矩形。

3.考点分析：本题主要考查平行四边形的性质和判定及矩形的判定。

4.设计意图：

点E、F特殊化为AO、CO的中点，加入矩形判定知识点，考察了学生的几何直观、逻辑推理等核心素养。

【变式3】

如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1=∠2.

求证： （1） BE=DF; （2） AF∥CE

1.思路分析：

（1）由平行四边形的性质得∠5=∠3，∠AEB=∠4，再由全等三角形判定即可;

（2）由全等三角形的性质得出AE=CF，进而得出四边形AECF是平行四边形，即得AF∥CE.

2.解题过程：

证明： （1）在 ABCD中AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB∵∠1=∠2

∴∠AEB=∠CFD

∴△ABE≌△CDF （AAS），∴BE=DF;

（2）由（1）得△ABE≌△CDF

∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF

∴四边形AECF是平行四边形∴AF∥CE.

3.考点分析：平行四边形、平行线、全等三角形的性质与判定。

4.设计意图：本题条件有别，但证明思路与原题类似。

【变式4】

在 ABCD中，點E、F分别从点A、C同时出发沿对角线运动，到达C、A后停止.它们的速度都为lcm/s，且在第3秒和第19秒时与B、D两点构成正方形，求 ABCD的面积。

1.思路与方法分析：

通过外角性质表示∠DBC和∠ECB，通过角平分线的性质得：∠DBC=2∠PBC，∠BCE-2∠PCB，即可得∠A和∠P的关系.

2.解题过程：

解：如图，当t=3s时，点E、F分别到达P、Q的位置，在正方形BPDQ中，BD上AC，OD=OB=OP=OQ，AP=CQ=3cm.当t=19s时，点E、F分别到达Q、P的位置，此时PQ=19-3=16cm

∴OD=OB=OP=OQ=8cm，

AO=OC-8+3=llcm.

∴SABCD=1/2AC. BD=1/2.22·16=176（cm2）.

3.考点分析：正方形的性质、菱形的面积公式。

4.设计意图：本题点E、F变为动点，学生需要考虑第3秒和第19秒点E、F的位置，综合运用正方形的性质和菱形的面积公式进行解题，培养了学生逻辑推理等核心素养。

三、变式小结

原题是一道经典的教材例习题，点E、F在对角线AC上与B、D构成平行四边形，本文通过特殊化点E、F的位置，构成了矩形、菱形以、正方形等特殊平行四边形，既综合复习了平行四边形、矩形、菱形及正方形的知识点，又提高了学生举一反三的能力，培养发展了学生的数学素养。

【参考文献】

[1]杨伟东，杨燕良活用教材，提升素养——以等腰直角三角形为载体的变式教学[J].中学数学，2020 （04）：3-4.

[2]李志平.基于核心素养的初中几何题变式教学策略及课例赏析[J].中学数学，2020 （04）：24-26.