基于问题链的高三数列不等式证明设计

方爱珍

【摘要】《普通高中课程标准》提出把“立德树人”的要求落实到课堂教学中，以发展学生核心素养为教学目的。数学育人要靠数学内在的力量，即从课堂教学中落实核心素养。学生对数学存在恐惧心理，常常听得懂，做不来。“授人以鱼不如授人以渔”，数学教学以“问题链”形式引导学生主动探究，积极思考，合作交流在学生发现问题，分析问题，解决问题的过程中，培养学生思维能力。本文以问题链在高三数学数列复习中的运用展开研究。

【关键词】高中数学 数列不等式 问题链

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】A

【文章编号】1992-7711（2020）14-171-02

苏霍姆林斯基也曾说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，即希望自己是一个发现者，研究者，探索者”。从心理学角度分析，知识的获得是一种主动的认知活动，学习者不应该是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程的主动参与者。所以在数学课堂教学中，让学生的思维动起来，体验数学问题从产生到解决的过程尤为重要。高三复习要避免“炒冷饭”式的重复，所以“问题链”教学模式，引导学生将知识转化为探索问题的问题点，能力点形成问题链，激发学生的数学学习的兴趣，提高学生参与课堂的机会。通过知识点的设疑、质疑、激思、解疑，培养学生的逻辑思维能力，提高学生核心素养。

一、问题链的概念及作用

“问题链”是指课堂上呈现给学有序的主干问题串.它既为学生提供数学学习的框架，让学生能经过这一问题链中获得高水平的数学知识，同时问题链中的每一个问题及问题间的跨度又为学生的高水平思维提供了可能性。通俗地讲，教师为了实现教学目标、教学内容，根据学生已有的知识水平，针对学生可能出现的困惑设计一系列问题，以知识的形成、发现、探索和解决为主线培养学生思维，通过师生互动复习数学知识，使学生积极参与到探索复习活动中，形成自主复习的能力。问题链以问题为基础，以学生为中心，激发起学生探索欲望和思考的积极性，为学生提供了发现、思考、探索、实践、运用的机会，能使学生在自主学习、合作交流中提高学生对高三数学复习的积极性和主动性。其次，问题链教学还能启发学生数学思维，提高学生数学素养。

二、基于问题链的高三数学复习——以数列不等式证明为例

1.组织合作交流，启发式问题链

在开始复习前，教师可以组织学生分组总结数列这一单元知识，从基础知识.基本问题、基本方法、数学思维四个方面绘制思维导图，数列复习已具备等差等比数列基本量计算、数列通项方法、求和方法，为问题链的设计提供准确依据。在数列不等式证明中，引入人口较低的可以直接求和，但学生却不能轻易解决的的数列求和证明不等式。

问题1数列常用求和方法有哪些？

设计意图：对于学生来说，数列只具备常规的通项方法，求和方法，如等差等比数列，裂项法，错位相减法，倒序相加法，分组求和法。引导学生观察通项，学会排除法，从已有方法中寻找相类似的形式。

问题2观察数列通项的分母形式有什么特点？能不能找到相邻两项间的关系？

设计意图：观察分母会发现，如果分子分母同时约去2得到

，而此时的分母前后有递进关系，一步一步向裂项法靠拢。

问题3像上式这样的形式，类似于相邻两项有递进关系的式子，试试能不能求和？如果能，用什么求和形式？

设计意图：引导学生大胆猜想，试用已有的裂项方法解决新问题，完成从知识到解决新问题的跨越。

问题1观察所求式子通项是什么形式？

设计意图：不管所求式子能否求和，引导学生观察通项的特点，来决定是否能够求和或放缩。

问题2形如

不能求和的通项，显然不能求和，结论却要用求和形式，可以把通项转化成能求和的通项吗？

问题3不能求和时，一般考虑放缩法，那么前面例1带来的启示是什么？

设计意图：利用例1的引导作用，启发学生用放缩思维去改变分母的大小，讓分母的两个因式有递进关系，裂项达到求和的目的。激发学生探索欲望，学会自我分析已有知识方法，通过迁移解决新的问题，提出对于数学不能求和时，对通项进行适当变形。

2.借助数列变换，递进式问题链

数列复习的主要内容是通项与求和，学生对常规题型基本能掌握，但对陌生问题或不等式形式很容易找不到方向。其实知识间有一定的联系，不等式也是从等式中变形而来。教师可以从基本知识人手，通过知识点变换的方式丰富问题链的内容，引导学生主动探索数列知识间的联系，帮助学生巩固复习教学知识，以此来深化学生对数列的理解和掌握。

问题1如果把条件中的绝对值去掉，不等号改成等号，会做吗？

设计意图：数列的不等式问题，学生比较害怕。但事实上不等式也是等式的一种变形，把不等式变为等式处理，降低思维难度，在学生最近发展区设置问题.把陌生情境转化为熟悉问题。

问题2.观察条件和结论，条件中的aⁿ怎么从绝对值中跳出来呢？

设计意图：教学生联系条件和结论，结论需要什么，我们要从条件中变形得到，从而想到要用绝对值三角不等式处理。 .由于学生已有问

题1的铺垫，会用构造法求通项，过渡到不等式的证明，也渗透了放缩的基本方向：不等式问题与等式之间的密切联系。

3.激发深度思维，逆向问题链

由于前两个问题都是着眼于数列的通项，从条件出发，把陌生通项与似曾相识的裂项法的通项转化。问题有时候也常常从结论出发，寻找解决问题的突破口。

第一小题直接构造数列求得 看通项公式显然不能求和，要用放缩法。而放缩的方向是难点，所以从通项上看，它接近一个等比数列，从结论上分析，也像是等比数列求和.所以设置如下问题：