逆向分析，一招制胜——有试验终止条件的事件的概率求法

余建国

例1(2019年全国Ⅰ理科卷第15题)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0．6，客场取胜的概率为0．5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1 获胜的概率是____．

破题“甲队以4∶1 获胜”意味着什么？

这其实就是指甲队通过5 场比赛获得了胜利，并且甲队第5 场(主场)比赛获胜，前四场(两个客场、两个主场)对乙队的战绩是三胜一负．

解析由于主客场胜率不一样，前四场比赛甲队获胜的概率分布还不是“二项分布”，于是再进行更细致的分类．

记“甲队第5 场(主场)比赛获胜”为事件A，则P(A)=0.6；记“甲队前四场比赛三胜一负”为事件B，由于各场比赛结果相互独立，由表1 可知，P(B)=2[(1－0.6)×0.6×0.52+0.62×(1－0.5)×0.5]=0.3．

由于各场比赛结果相互独立，“甲队以4:1 获胜”即为事件AB，所以P(AB)=P(A)·P(B)=0.6×0.3=0.18．

例2(2019年全国Ⅱ理科卷第18题)11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10 平后，每球交换发球权，先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0．5，乙发球时甲得分的概率为0．4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10 平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．

表1

（1）求P X(2)=；

（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率．

破题第（1）小题，事件“X=2”是什么意思呢？

这其实是指10∶10 平后，两人又打了2 个球该局比赛结束．根据比赛规则，更清楚地讲，这2 个球均由甲得分(甲先发一球，乙后发一球)，从而该局比赛以甲对乙12∶10结束；或者这2 个球均由乙得分(甲先发一球，乙后发一球)，从而该局比赛以甲对乙10∶12 结束．

解析（1）“X=2”是两个互斥事件“2 个球均由甲得分”与“2 个球均由乙得分”的和，因而P(X=2)=0.5×0.4+(1 -0.5)×(1 -0.4)=0.5．

解析（2）“第1、2 球甲一胜一负”并不是二项分布概型．记“第1、2 球甲一胜一负”为事件A，“第3、4 球均为甲胜”为事件B，则“X=4 且甲获胜”就是两个相互独立的事件A与B的积，即“X=4 且甲获胜”=AB．由题意，P(A)=0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4=0.5，P(B)=0.5×0.4=0.2，所以P(AB)=0.5×0.2=0.1，事件“X=4且甲获胜”的概率为0.1．

破题第（2）小题，事件“X=4且甲获胜”意味着什么呢？

这其实就是指10∶10 平后，两人又打了4 个球该局比赛结束，且这4 个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1 分，后两球均为甲得分，对甲而言，实际比分是13∶11．

例3（苏教版2-3“探究∙拓展”题）袋中有7 个白球，3 个红球，每次从中任取1 个，直到取到白球为止．对应于下面两种取法，分别求取球的次数X的概率分布：

（1）取到的红球不放回；

（2）取到的红球放回．

解析（1）逆向分析每一个事件，可得取球的次数X的概率分布为表2．

（2）记“取到红球”为事件A，于是有，则“取到白球”为事件．

取球的次数X的概率分布为表3．

我们知道，概率分布表有个特点：

p1+p2+…+pn=1．

那么表3 中的概率和又为多少呢？其意义是什么？

这里用到了无穷递缩等比数列(公比q满足)求和公式．p和=1 表明，无限次取下去，终有一次取到白球．

破题第（1）小题，由于取到的红球不放回，且红球只有3 个，所以第4 次一定取到白球，X=1,2,3,4.

表2

破题第（2）小题由于没有“强行终止”条件，理论上讲，取球游戏可以无限进行下去，即X=1，2，…，n，….

表3

敲黑板

在有试验终止条件的事件的概率问题中，只要仔细分析终止条件，逆向追溯，将所求概率的事件分解为若干互斥事件的和或独立事件的积，就能准确转化，顺利求解．