渡槽结构考虑水体作用的动力研究方法综述

冯锡尧， 罗永坤， 李天成

(西南交通大学土木工程学院，四川成都 610031)

我国是一个地震多发的国家，也是世界上地震灾害严重的国家之一，统计表明世界上发生的7级以上地震中，约35 %就发生在中国[1]。渡槽作为一种跨越河流、道路、山谷等障碍的架空过水建筑物，是南水北调工程中重要的交叉建筑物之一。实际工程中，渡槽结构跨度大，抗侧刚度低，加之上部槽体内承载着大质量的水体，使整个结构形成“头重脚轻”的形式，在地震中易遭受破坏，甚至损毁[2]。在长距离的输水工程中，若有一处遭到破坏，对整条沿线的输水系统都将造成影响，严重中断供水。因此，研究大型渡槽结构的抗震安全问题，具有重大的实际意义与实用价值。

渡槽槽体内的水荷载，既是渡槽结构区别于桥梁结构的特点，也是抗震研究的难点。大型渡槽内的水体质量在运营时很大甚至会超过渡槽结构自身的质量，在地震作用的激励下将明显改变结构本身的动力特性，如何准确获取大质量水体的响应正是实现渡槽结构抗震的关键。考虑水体作用的渡槽结构动力学问题实是研究渡槽结构与槽内水体的耦合问题，即FSI(fluid-solidinteraction)系统，这类问题可以理解为即涉及固体求解又涉及流体求解，而两者又都不能被忽略的问题。本文结合现有的研究成果，总结渡槽结构动力研究方法中考虑水体作用的计算模型和方法。

1 附加质量法

表1 有限宽度水域时附加质量的折减系数η

近期应用较多的是由动水压力满足的Laplace方程建立的附加质量法，由这种方法推导的附加质量矩阵可用于有限元动力方程，即不需要改变结构动力方程的形式，只在质量矩阵的基础上添加附加质量矩阵[5]。

附加质量模型虽有各种不同的形式，但均忽略了水体的压缩性和晃动作用，仅反映了动水压力对结构的影响，没有做到真正意义上的耦合，但是由于附加质量法的计算简便，且采用附加质量法得到的渡槽动力响应是偏安全的[6]，所以在工程中的应用依然很广泛。

2 弹簧质量模型

面对工程问题时，最理想的公式是既不需要做太复杂的计算，又能得到足够的精度。从这个角度出发，李遇春等[11]在已有的经典理论上，采用线性势流理论和比拟方法，并对得到的精确解公式进行数学拟合简化，提出了表达简单且具有高精度的建议公式。在对其他形状截面渡槽(如半圆形、U形、梯形等)[12]的处理上，提出了一种半解析半数值的方法，得到了流体等效模型的近似解，该方法同样适用于在未来的调水工程中具有广泛应用前景的圆形渡槽[13]。

3 边界元法

边界元法(boundaryelementmethod，BEM)[14]是以Green公式和问题的基本解为基础，将控制微分方程转化为边界积分方程的一种数值方法。在渡槽结构的抗震分析中，将水体的自由边界面和与槽体的耦合面作为处理对象，假定渡槽槽身是刚体容器，槽内水体是不可压缩的无旋流体，满足二维Laplace方程。对水体进行离散，代入不同的边界条件，转化为边界积分方程，采用时间增量法求解，即可求得边界上的速度势及自由面的波高随时间的变化历程，最后将压力方程代入槽身控制方程，即可求得液体对渡槽结构的时间历程[15]。

边界元法可用来描述在强震下流体的大幅度晃动过程，同时能计算流体对固体的作用，并且得到液体晃动的波高和速度势的分布[16]。由于只需要将边界离散成单元，因而需要准备的数据简单，便于复杂几何问题的建模。但是目前将边界元法应用于渡槽结构的分析中，将结构视为刚性体，仅反映了流体晃动对结构的影响，并未反映结构变形对流体的影响，没有实现真实的流固耦合，不适用于薄壁柔性渡槽的解答。

4 有限元法

4.1 位移型有限元法

位移型有限元模型，是将流体位移作为待求未知量，流体和弹性体都使用位移计算格式建立的渡槽流固耦合系统，并将求解域离散的计算模型[17]。由于流体和弹性体都采用位置格式，在方程形式上具有相似性，因此可将流体的位移运动方程直接通过弹性体的运动方程加以描述，这种方式使得流固耦合边界易于处理，适合求解较为复杂的渡槽流固耦合问题。值得注意的是将弹性体的动力学方程用于流体时，用到了条件G=0，即流体的剪切模量为零，表明流体单元与流体单元、与弹性体单元之间不传递剪力，只传递法向压力，这一条件符合理想流体的力学特征(无粘性)，同时让流固耦合面上的法向压力协调条件得到自动满足，但在实际计算中，为了保证数值计算的稳定性，不能将G为零，而是取一个非常小的正数，以确保计算过程不溢出。位移有限元模式的缺点是位移模式的待求未知量个数较多，会占用较大的计算机内存，当剪切刚度为零时，易产生很多需要耗费时间消除的伪模态。

4.2 压力型有限元法

刘云贺[18]在研究液体与弹性体的二维动力耦合问题中，着重分析流体与弹性体在接触界面上的运动状态，假定接触面由无限接触点对构成，建立了运动和动力边界条件，提出将能够反映其动力相互作用机理的流、固域无限接触点对的瞬态接触内力作为待定变量，应用Lagrange乘子法构造了流体域、固体域包括满足上述接触界面运动和动力边界条件的统一系统的功率泛函，在理论上证明了以接触点对作为边界条件的正确性。

对于具有复杂边界条件的实际工程问题，要给出解析解答比较困难，因此借助有限元法，对流体固体动力耦合控制方程进行离散[19]。需要指出，由于流体域内压力作用下产生的理想流体动量传递是一阶的，而由应变率引起的粘性动量传递是二阶的，因此压力和速度需采用不同的插值函数[20]；在流体域和固体域的接触边界上，为了保证变形协调，固体域内速度和位移均采用与流体速度相同的二阶插值函数。文献[19]在流固接触面上，假定流体与固体不直接发生法向分离，将讨论分为接触无滑移状态和接触滑移状态两种情况，分别建立了对应的接触约束矩阵，得到了可用于有限元的流体、固体动力耦合方程。

4.3 位移-压力有限元法

在流固耦合系统中，固体域的方程通常以位移作为基本未知量，流体域通常以流场压力作为基本未知量，相应的有限元表达格式则为流固耦合的位移-压力格式[21]。假定流体是无粘、可压缩和小扰动的，流体自由液面为小波动，固体为线弹性，则可用伽辽金法建立流固耦合的有限元方程：

式中:p为流体结点压力向量；a为固体结点位移向量；Q为流固耦合矩阵；Ms、Mf分别为固体和流体的质量矩阵；Ks、Kf分别为固体和流体的刚度矩阵；Fs为固体外荷载向量。由于位移-压力有限元格式假设水体为小波动，因此不能考虑强震作用下产生的水体大晃动对结构的影响。

4.4 ALE(Arbitrary Lagrangian-Eulerian)有限元法

研究液体在渡槽结构的晃动分析中，需要涉及到求解Navier-Stokes方程，由于边界条件比较复杂，单纯使用Lagrange方程或Euler方程来描述是很困难的。Hirt和Noh[22]在研究有限差分法时，提出了ArbitraryLagrangian-Eulerian描述方法，同时利用Lagrange描述和Euler描述各自的优点解决了这一问题。研究表明，ALE描述法非常适用于求解考虑液体大晃动的问题[23]，可用迭代的数值方法，求解流固耦合系统非线性方程组，获得较精确的渡槽结构动力响应。但是ALE有限元模型对网格的运动算法要求较高[24]，分析和计算都比较复杂。

5 其他计算方法

5.1 考虑水体TLD效应的集中质量模型

近年来，随着调谐液体阻尼器(TLD)理论的研究发展，TLD概念被引入到渡槽结构体系中，认为渡槽中水体的晃动会对排架支撑的渡槽结构起到TLD减震效应。徐家云等[25]从水体的TLD效应出发，假定TLD为方形，槽体为刚性，槽体小振幅运动，液体无粘滞、不可压缩、无旋，则取第1阶对流谐振力即可得到较为精确的槽体TLD控制力。文献[25]对比分析了有无隔板的矩形TLD减震效果，计算结果表明，在地震作用下槽内水体有比较显著的TLD减震效应，且增加纵向隔板后减震效果更加明显。

但是，TLD的设计是否能够达到预期的减震效应，李遇春等[26]认为必须满足两个前提：(1)TLD中的液体晃动频率应与结构振动主频率一致；(2)TLD的设计质量应足够小。而在一般地震作用下渡槽内液体并不具备这样的条件，且流体的存在对结构的地震反应通常是不利的。

5.2 横向地震响应的简化计算公式

借鉴已有的抗震规范，张文学等[27]基于流固耦合振动理论，假定槽壳为刚体，槽墩等高，渡槽无限长，将这种规则的渡槽简化为二维平面模型，并设槽内水体为理想液体，小幅晃动，推导了渡槽结构横向地震响应的计算公式，并以非线性时程分析验证了其可靠性。该公式可通过计算空槽的自振周期Tcs、考虑槽内水体质量时的自振周期Tcw和矩形槽壳中水体的基本自振周期Tw，通过反应谱法得到墩底剪力，进而换算得出墩底弯矩和槽顶位移，可有效反映槽内水体晃动对结构地震响应峰值的影响，但对于非规则渡槽及高墩渡槽等条件下的适用性有待进一步研究。

6 结论

(1)上述求解渡槽结构流固耦合问题的计算方法，都有各自的优缺点，在实际应用中，应综合考虑分析目的、使用需求、现实条件，选择最适合的方案。

(2)渡槽结构的动力计算大多使用二维模型，对考虑多维地震的效应尚缺乏理论指导。

(3)渡槽槽内水体在地震作用下的TLD效应，目前仍存在争议，有待进一步研究TLD效应与渡槽结构的何种因数相关。

(4)现有的理论研究大都集中在对规则渡槽进行新方法的探索上，将已有成果的适用性推广到各种形式的渡槽结构动力学问题求解上是一个值得研究的思路。