海洋波动方程典型例题傅氏解的可视化实验

张春玲　胡松

摘  要：波动被称为海洋的节拍，是一种常见且非常重要的海洋现象。其数理方程的傅氏解以复变函数的级数为基础，物理意义不易被学生理解。本文借助于海洋数据处理中常用的Matlab编程软件，选取波动方程有界混合问题的典型例题，以直观地方式再现其傅氏解的物理意义。

关键词：波动方程;可视化;分离变量;海洋现象

引言

海洋波动是海水运动的重要形式之一，从海表面至海洋深处，均存在尺度不同的各种波动现象。按照成因可以分为风浪、涌浪、地震波、长重力波、潮波、行星波等;按照发生的位置可以分为表面波、内波和边缘波;按照波长相对于水深的大小，可以分为浅水波和深水波;按照波形是否传播又可以分为前进波和驻波[1] 。但不管什么形式的波动，都是能量传播的表现，某一点的波动必然带动其邻近质点，通过周围物质的周期运动来传送或传播能量，故波动的特征是随时间和空间具有周期性变化[2] 。在数学上，通常利用波动方程来描述这一运动规律，并借助于傅里叶解法（也称分离变量法）来求解有界波动问题。但实际海洋中的波动严格来说都不是真正的周期运动，而是一种十分复杂的现象。其傅里叶解的形式为无穷级数，既无限多个正弦波或余弦波的叠加，这也从理论上刻画了这一特征[3] 。对于这个傅氏解的物理意义，单从公式上，学生很难理解，更不易与实际海洋波动现象联系在一起。随着计算机技术的发展，很多软件及仿真技术用于数理方程的可视化研究，其中海洋数据处理软件Matlab就不失为一种较好地工具[4-6]。本文以一个有界波的混合问题为例，利用Matlab对其傅氏解进行可视化处理，以便更直观地解释其物理意义。

1 典型例题的傅氏解

一维有界波动满足的混合问题为： ，利用分离变量法求得的解为  ，表示实际波形是由一系列频率成倍增长、相位不同、振幅也不同的驻波叠加而成的。假设研究区域为 ，考虑两端为固定边界（边界上的波动振幅为零），具有一定初始位移，初始速度为零，在不受外力作用下的自由振动。其中，当 ，初试位移为 而当 ，初位移为 。由题目的条件，该波动满足方程组 ，分离变量法求得的方程的解是  。

2 傅氏解的可视化实验

首先给定参数波速a，初始位移折线的斜率h及研究区域长度l，然后以一定时间步长和空间步长将研究区域和波动时间离散化，在此基础上，把所有波动进行叠加。实验代码如下：

实验得到的不同波数所对应的波形如图1所示。由图可以看出，波数确定的单个波波形均为正弦波，理论解具有明显的周期性。而这些波叠加在一起就使得海面随时间推移，在不同的位置点上表现出不同的波动现象（图2）。波数为10时，由初试扰动引起的波动能量在扰动点达到最大值，而后向两边传播（n=30），在到达边界后（n=100），前进波与反射波能量抵消（n=102），对于某个固定的位置点，其波动形式，在反射波与前进波叠加前后，表现为相反的振幅大小（n=180;n=200）。

3 结论

傅里叶解法是求解海洋中运动方程的基本解法，其以无穷级数的形式给出了理论解。通过matlab的可视化功能，将其理论解进行直观地展示，可以更形象地揭示波动方程的运动情况。而且，可视化实验程序中，可以自由调节各个参数的大小，如波速、波数、时间步长和空间步长等，对应于不同参数，研究区域各个点的波动情况也一目了然。

参考文献

[1] 冯士筰，李凤歧，李少菁.海洋科学导论[M].1999.

[2] D.A.罗斯，b.A，罗斯，et al.海洋学导论[M].科学出版社，1984.

[3] 姜礼尚.数学物理方程讲义.第3版[M].2007.

[4] 彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化[M].2004.

[5] 郝玉华.一维弦振动方程的可视化处理[J].盐城工学院学报（自然科学版），2006（04）：16-19.

[6] 徐彬，XuBin.Matlab在复变函数与积分变换课堂教学中的应用[J].湖北理工学院学报，2016，32（3）：68-72.5（2）：40-40.

作者简介：张春玲，（1981-），女，山东，讲师，博士，海洋科学，主要从事海洋数据分析研究。

胡松，（1978-），男，广西，教授，博士，海洋科学学院副院长，分管教学。

基金项目：上海海洋大学教学改革与研究项目（A1-2005- 20-300348）;國家自然科学基金项目“合成孔径雷达图像中白冠覆盖率的特征及参数化”（41606196）。