基于数学整体性的“四边形”课程、教材及单元教学设计

章建跃

(人民教育出版社 课程教材研究所 100081)

1 平行四边形在平面几何课程中的地位

三角形虽然是最简单的几何图形，但空间的大部分基本性质都已在三角形的几何性质中充分体现.那么，为什么还要安排四边形的有关内容？它有什么特性？它在研究空间性质时扮演了怎样的角色？发挥着哪些不可替代的作用？……这些问题是我们在设计和实施四边形课程时需要认真思考的问题.

在平面几何中，我们一般先对平面图形进行定性研究，然后再作定量分析.这样的过程反映了人类认识事物的普遍进程，是一个由此及彼、由表及里、从现象到本质进而把握事物规律的自然过程.在定性研究几何中的“等”与“不等”时，我们可以完全不用平行性.而在定量研究中，平行性具有举足轻重的地位，它的作用是大大简化了定量几何的基础理论和基本公式.实际上，过直线外一点是否能作唯一一条平行线(等价于三角形的内角和是否等于180°)，就是欧氏几何与非欧几何的分水岭，前者的基本公式要比后者的基本公式简单得多，像矩形面积公式、勾股定理、相似三角形定理等，在非欧几何中或者根本没有，或者要复杂得多(1)项武义. 基础数学讲义丛书·基础几何学. 北京：人民教育出版社，2004，p.41～42.而在平行性的研究中，平行四边形是一个主要工具，就像等腰三角形在研究对称性时所扮演的角色一样.因此，四边形的课程内容应聚焦平行四边形，以便引导教师把精力放在平行四边形的教学上，使学生牢固掌握平行四边形的性质，从而为定量几何的学习打下基础.其实，平行四边形也是中心对称图形，矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形既是中心对称图形也是轴对称图形，所以它们也是几何变换的重要工具.另外，平行四边形法则是现实事物所遵循的规律，平行四边形的性质在现实中也有大量应用.总之，无论从数学内容的本质、核心与关键看，还是从平面几何课程的削支强干、精益求精考虑，在四边形课程中，我们都应该把注意力放在平行四边形上.

2 四边形的教材建构

2.1 关于平面几何内容的安排

从数学的整体性出发，初中平面几何的内容安排要在对几何基本概念(立体图形、平面图形、点、直线、射线、线段、角等)形成直观认识的基础上，按图形的复杂程度，先安排两条直线的关系，再安排三角形、四边形、圆，以及两个图形的关系(相似形)，图形的平移、轴对称和旋转等工具类内容可以根据研究图形性质的需要和学生的知识储备“见机行事”，而尺规作图则应在每一个图形的研究中随时随地的提出要求.当然，图形简单并不意味着好理解，例如直线似乎是简单的，但这个“直”就很难严格定义，这样的内容往往担负着“从无到有”的创生任务，所以处理时应“点到为止”，待学生知识储备充分后再螺旋上升.具体处理时采用“扩大几何公理体系以降低几何入门难度”的做法，把“两点确定一直线”、“两点间线段最短”、“垂线的唯一性”、“点到直线的垂直线段最短”、“平行线的唯一性”、“同位角相等，两直线平行”、 “平行线的同位角相等”、“三角形全等的三个判定”等作为公理，通过直观感知、操作确认的方式使学生认可结论，在此基础上作为证明其他命题的依据，这是我国平面几何课程改革的成功经验.从有利于学生形成研究一个几何图形的完整经验考虑，三角形的内容整体上应按从一般到特殊、从定性到定量的架构安排.在相对完整地学习三角形后，再安排四边形的有关概念(包括四边形的定义，顶点、边、内角、外角、对角线等要素)和基本性质(内角和公式、外角和公式等)，并将四边形的概念和基本性质推广到多边形.然后，类比三角形的研究路径，以概念的内在逻辑关系为依据，以“属+种差”的定义方式，通过“要素或要素关系的特殊化”，顺序安排平行四边形、矩形、菱形、正方形，并以“背景——概念——性质——判定——应用”的基本套路展开具体内容.

2.2 关于平行四边形的教材内容

在构建平行四边形教材体系、处理具体内容时，要把握如下要点：

(1)加强公理化思想的渗透

将平行四边形作为一个完整独立的内容，以公理化思想为指导，从概念抽象开始，层层递进地展开相关内容，使学生体会如何逻辑严密地构建一类平面图形的知识体系.这里要特别注意，平行四边形的教材应避免不必要的“联系实际”，主要从数学内部创设情境并提出数学问题，形成自然而然、环环紧扣、逻辑严密的“平行四边形——矩形——菱形——正方形”整体架构，引导学生经历用数学的眼光观察图形要素与关系，用数学思维思考图形的性质与判定，用数学的语言严谨地表达的完整过程，让学生干净利索地学数学，获得严密的推理论证训练，使直观想象、逻辑推理等素养得到发展.

(2)加强一般观念的引导

要给学生以“如何抽象图形的概念”、“图形的性质、判定指什么”、“如何通过归纳、类比发现和提出命题”、“如何利用推理的基本形式和规则探索和表述论证过程”等等的明确指导，创设适当的情境，引导学生进行自主探究，发现平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质与判定，并给出严密的证明.

(3)加强推理论证的训练

平行四边形的学习是培养推理论证能力的关键时机.要明确作为“应用三角形的知识(特别是等腰三角形、直角三角形性质)研究四边形”的定位，不仅训练学生用综合法证明涉及较多知识的几何命题，从而提高推理论证能力，而且让学生从分析图形的要素和题设出发，经过从特殊到一般、类比、归纳等探索性活动发现结论、形成命题，通过逻辑推理给出证明，最终形成平行四边形的知识体系.

(4)加大自主探究的力度

因为学生已经在三角形中积累了较为丰富的学习经验，而平行四边形的研究内容、过程与方法与三角形有极大的可类比性，而且有相交线与平行线、三角形的知识储备，以及平移、轴对称、中心对称等工具可用，所以应把平行四边形作为培养学生探究发现能力的载体，为学生创设更大的自主学习空间，引导学生通过自主探究，整体构建平行四边形的研究框架，在一般观念的引领下，经历完整的“概念——性质——判定——应用”的过程，理解平行四边形的概念内涵、组成要素和相关要素等，再通过对内涵、要素、相关要素等之间关系的探索，或通过建立相关概念的联系而发现结论、提出猜想，最后通过逻辑推理证明结论、得出定理.同时，要通过适当的情境，引导学生从一般到特殊，逐步提出值得研究的新对象、新问题，最终形成“四边形——平行四边形——矩形——菱形——正方形”的完整知识体系.

3 体现数学整体性的教学过程设计

下面以教学过程设计的形式具体呈现我们对四边形内容的教材设计与教学实施的思考.

问题1前面比较系统地研究了三角形.你能回顾一下我们是如何展开研究的吗？包括研究内容、过程、方法，特别是发现和提出问题的方法.

师生活动：先由学生思考，画出三角形知识的逻辑结构图，再由教师帮助完善，形成图1.要特别注意从“如何构建几何图形的研究路径”、“概念抽象的要点”、“图形的性质指什么”等进行归纳总结.

图1

追问：类比三角形的研究，你认为我们可以如何研究四边形？

师生活动：先让学生独立思考，再组织全班交流，得出研究的基本路径：

抽象研究对象(给四边形下定义)——研究性质(研究四边形的要素、相关要素之间的关系)——研究特例(要素有某些特殊关系或特殊取值的四边形，以“定义——性质——判定”的路径展开).

设计意图：帮助学生梳理研究思路，强化“定义——性质——特例”的研究路径，明确研究一个几何图形的基本套路，明确要研究的主要问题.

问题2类比三角形概念的抽象过程，你能抽象出四边形的概念吗？

追问1：抽象四边形概念要完成哪些事情？

师生活动：学生独立思考后回答，要完成“定义——表示——分类”.学生模仿三角形定义给出四边形的定义“由四条线段首尾相接组成的图形叫做四边形”后，让学生根据这个“定义”画出图形.在学生画图的基础上，利用学生做出的图形(教师可以补充)，得出如图2的三类图形.

图2

追问2：我们发现，仅仅模仿三角形的定义还不能得到严格的四边形定义.你觉得应再加上什么条件？

师生活动：教师引导学生分析上述图形的结构特点，指出图2(3)中有两条线段相交，不是四边形，所以应加上“四条线段互不相交”的条件，并给出四边形的边、顶点等概念.

追问3：根据定义，我们发现四边形有凹凸之分.你认为该如何严格区分？

师生活动：教师在引入对角线概念的基础上，引导学生分析两类四边形对角线的特征，发现凸四边形的对角线一定相交(如图3(1)，对角线AC，BD相交)，凹四边形的对角线不相交(如图3(2)，对角线AC，BD不相交)，然后教师指出：这里只研究凸四边形.

图3

设计意图：先让学生模仿三角形定义给出四边形定义，通过作图发现可以有多种情形，然后补充条件而得出严格的定义，可以让学生领悟抽象数学概念的过程与方法，发展数学抽象素养.

问题3有了四边形的概念，接着要探索四边形的性质.你认为要探索哪些内容？能得出哪些性质？

师生活动：先让学生独立思考，仿照三角形性质的研究过程，通过探索四边形的要素、相关要素之间的关系得出性质，具体研究内角和、外角和，边与对角线的大小关系等.可以得到：

(1)四边形的内角和为360°，外角和为360°；

(2)四边形的对角线之和大于周长的一半，小于周长.

设计意图：让学生类比三角形性质的研究，提出四边形性质所要研究的问题，并自己归纳、证明相关结论.这里的任务难度适当，可由学生独立完成，可以提升“四能”，积累数学基本活动经验.

问题4我们已经研究了一般的四边形，得出了相关性质.类比三角形的研究过程，接下来你想研究什么？如何研究？

师生活动：由学生独立思考后回答.学生可能会有两种回答，一是研究两个四边形的关系，二是研究特殊的四边形.教师可以指出，两个四边形的关系(全等、相似等)也是可以研究的，但有了三角形全等、相似的相关结论，这个问题的研究价值比特殊四边形的研究价值小.对于特殊四边形，可以提出如下问题：

追问：你认为特殊的四边形有哪几类？如何定义？

师生活动：先让学生在独立思考的基础上交流，教师再引导讨论，得出分类标准，即以四条边的特殊位置关系、特殊大小关系或角的特殊取值为分类标准.在充分讨论的基础上，教师可以说明，对于线段而言，位置关系中平行是最特殊的，大小关系中相等是最特殊的；角的取值中，四个角相等(都为90°)是最特殊的.所以，将“两组对边分别平行”作为平行四边形的定义，而四条边相等的四边形、四个角都是直角的四边形都是平行四边形的特例.在研究的逻辑顺序上应先研究平行四边形，再研究特殊的平行四边形.

设计意图：四边形的特殊化可以有多个途径，例如“边相等”、“边平行”、“边垂直”，“角相等”、“角取特殊值90°”……特殊化以后可以再分析、再归类，最后给出定义.这个过程主要涉及分类，而分类是认识数学对象的重要环节，并且也是数学研究的一个关键特点.正如陈省身先生在《从三角形到流形》中指出的：“考察某种数学对象的全部，并把它们加以分类，这是数学中的典型手法，这种手法在实验科学中是行不通的，因此它是理论科学和实验科学方法论上一个根本性的差别.”

四边形的分类是培养学生抽象思维的好素材，也与学生的认知水平相适应.让学生经历分类过程，并形成研究平行四边形的逻辑结构，即以“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”为定义，以此为出发点，展开对四边形的边、角、对角线关系的研究，得出性质定理和判定定理，这个过程可以有效培养学生的逻辑思维，使数学抽象、逻辑推理等素养得到发展.

问题5我们已经得到了平行四边形概念，根据研究等腰三角形、直角三角形的经验，接下来你想研究什么？

在学生回答“研究平行四边形的性质和判定”后，教师追问：

“平行四边形的性质”要研究的问题是什么？你能得出哪些猜想？你能证明这些猜想吗？

师生活动：学生在独立思考的基础上进行小组交流，明确“要研究的问题”是：

如图4，对于四边形ABCD，以AB∥CD，AD∥CB为条件，研究它的元素及相关元素的位置关系、大小关系，即研究四边形的四条边、四个内角、对角线等的位置关系、大小关系.

图4

在明确问题之后，由学生进行自主探索，完成后再组织全班交流，得出性质定理及其证明.

设计意图：对于平行四边形性质的探索与证明，以往的做法是“分别探索”，即按“猜想n——证得性质定理n——例题——练习”的过程，一堂课完成一个性质定理的教学.这样的过程，看似把每一个定理都“砸得很实”，但缺乏探索一个图形性质的整体性，割裂了性质间的内在关联，使原来在内涵、思想方法上具有一致性和连贯性的内容被人为切割，导致数学知识的碎片化，不仅对理解图形的性质不利，而且破坏探索的节奏，大大降低学习效率.

这里要强调，在给出平行四边形定义后，给出含有两条对角线的图4，先让学生思考、明确探索平行四边形的性质到底要做什么，即知道要做的事情是“以‘四边形的两组对边分别平行’为条件，推出四边形的边、角、对角线有哪些确定的关系”，然后再观察图形，就容易得出相关性质.在图4中有四组全等三角形，即△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA，△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，利用它们可以一气呵成地推得平行四边形的性质.

另外，课堂观察发现，有的老师在平行四边形性质的教学中，把“已知四边形ABCD为平行四边形，那么AB∥CD，AD∥CB”作为第一条性质，这个做法不符合“从定义出发，推出性质”的逻辑规则，容易给学生造成思维混乱.对于平行四边形而言，如下特性：

(1)两组对边互相平行，

(2)两组对边分别相等，

(3)两组对角分别相等，

(4)两条对角线互相平分，

(5)一组对边平行且相等

具有逻辑等价性，即从任意一个特性成立，可以通过逻辑推理得出其余特性都成立.我们将(1)作为定义，实际上就是规定了推导平行四边形性质的逻辑基础是(1)，以(1)成立作为前提，去推导(2)～(5)成立.

顺便说明，我们其实可以把“以(1)～(5)中任意一个为条件，推出其他四个成立”作为练习.这样的作业难度不大，但对学生把握知识的逻辑结构、发展逻辑思维和推理论证能力等，都很有好处.

问题6根据研究等腰三角形、直角三角形的经验，接下来我们可以研究什么？你想如何研究？

在学生回答“接下来探索平行四边形的判定”后，教师追问：

追问1：“平行四边形的判定”要研究的问题是什么？

在学生回答“要探究的是由怎样的条件可以推出四边形的两组对边分别平行”后，教师继续追问：

追问2：从平行线的性质和判定、等腰三角形的性质和判定之间的逻辑关系看，“性质”和“判定”有怎样的内在联系？你能猜想并证明平行四边形的判定定理吗？

师生活动：教师引导学生回顾已有学习经验，明确判定定理和性质定理之间互为逆命题的关系，再由学生独立完成判定定理的猜想和证明，得出平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形.

设计意图：在探索并证明性质定理，通过适当的练习巩固后，及时提出平行四边形判定定理的探索和证明的任务.在具体探索之前，先引导学生回顾已有经验，明确判定定理要研究的问题以及“判定”与“性质”的逻辑关系，可以使学生顺利猜想判定定理.与性质定理的探索一样，判定定理的猜想与证明也要一气呵成.探索过程中，学生可以有不同的路径，证明方法也可以是多样化的.

同样的，要注意判定定理要研究的问题是：对于一个四边形，具备怎样的条件，就可以推出它的两组对边分别平行.“定义”既是“性质”也是“判定”，但在对图形的探索中，“定义”是前提，是探索“性质”、“判定”的出发点，探索“判定”就是探索“两组对边分别平行”的等价条件.

问题7以上我们对平行四边形进行了完整的研究，请你带着下面的问题进行总结：

(1)通过学习，你获得了哪些知识？

(2)我们是按怎样的路径展开研究的，你能按照这个路径画出本单元内容的思维导图吗？

(3)在研究一个几何图形时，定义、性质、判定是基本而重要的研究任务.你能说说这三者的逻辑关系吗？

(4)平行四边形是特殊的四边形，实际上是在四边形定义的基础上增加一个限制条件.你能说说增加限制条件的方法吗？利用这一方法，你能在平行四边形定义的基础上增加适当的条件，给出一种特殊的平行四边形定义吗？

师生活动：先让学生独立思考后完成小结，再进行小组和全班交流.

设计意图：(1)是引导学生总结学到的知识；(2)与(1)相结合，通过平行四边形的知识结构图，促使学生形成清晰的平行四边形认知结构；(3)通过回顾平行四边形的定义、性质、判定所研究的问题，明确它们的逻辑关系，使学生得到数学思维方式的训练，明白探索的逻辑顺序以及每一个环节的研究任务，培养学生有逻辑地思考的习惯；(4)通过“图形的组成元素、元素间的关系的特殊化给出值得研究的新对象”，进一步加强“属+种差”的定义方式，使“四边形——平行四边形——矩形、菱形——正方形”的研究逻辑更清晰，同时也为后续研究奠定基础.

4 关于特殊的平行四边形的教学处理

从四边形到平行四边形的教学设计中，我们强调了数学内在的逻辑性，从知识的发生发展过程中，自然而然地提出需要研究的问题，强调“定义”、“性质”、“判定”之间的逻辑关系，在明确它们各自要研究的问题的基础上，引导学生有序地展开探索.同时，我们还强调通过类比三角形、平行线等探索过程，从数学内部构建情境，从数学角度提出明确的问题，让学生在问题的引领下展开自主探索、合作学习.这样做的目的就是要发挥数学的内在力量，使学生通过本单元的学习，得到理性思维的发展.在如此设计的教学中，学生学到的就不仅仅是概念、性质定理、判定定理等形式化知识，从中得到的关于研究一个几何对象的基本套路、思想方法，对如何抽象一个几何对象、几何图形“性质”或“判定”所研究的问题是什么、如何发现、如何证明等等的领悟，可以容易地迁移到矩形、菱形、正方形的探索中，并且也能在研究其他图形中发挥作用.因此，我们主张，特殊的平行四边形，应该让学生自学.可以采取“综合实践活动”、“课题研究”或“数学探究活动”的方式展开教学.

因为探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理、判定定理的过程与平行四边形相关定理的探索过程完全一致，而且可以利用等腰三角形、直角三角形以及轴对称、中心对称等工具，这就使探索的内容很丰富，探索的方法也更多样化，所以这是一个发展学生创新意识和实践能力的好素材，具体细节不再赘述.

在研究平行四边形时，我们总是利用三角形的知识，这是非常自然的.实际上，平行四边形就是两个全等三角形的相等边叠合在一起而成的.作为平行四边形对三角形的应用，三角形中位线定理的探索和证明是一个好素材.教学中可以提出用不同方法证明定理的要求，例如下列图5表明了不同的证法：

图5

其中，(1)利用E为AC中点，延长DE至F，使EF=DE，构造平行四边形ADCF；(2)过AB中点D作DF∥AC，交BC于F，证明F即为BC中点；(3)构造平行四边形ABCG，延长DE交CG于F，可证BCFD为平行四边形；(4)利用平行四边形为中心对称图形，过中心O作EF∥BC，可证E，F分别为AB，CD的中点.

5 小结

从四边形到平行四边形再到矩形、菱形、正方形是一个大单元，对它们的研究，无论是研究的内容和结构、过程和方法，都有极大相似性，图6是本单元的结构图.

图6

在教材编写和课堂教学中，我们要利用好这个特点.对于一般四边形，要注重发挥四边形概念的教育价值.从三角形的定义到四边形的定义，既有一致性，又有拓展性，让学生在首尾相接的四条线段形成的不同图形的分类中，体验数学对象的定义方法，领悟数学定义的严谨性.平行四边形的定义、性质与判定是重点，要在“将四边形组成元素的位置关系、大小关系特殊化”这一一般观念的指引下，通过对不同特殊化图形的分类活动得出平行四边形的定义；要在“研究平行四边形的性质，就是以两组对边分别平行为前提，探索它的组成元素、相关元素之间的位置关系、大小关系”的引导下，猜想性质、给出证明；要在“研究判定，就是探索‘两组对边分别平行’的等价条件”的指引下，利用“判定”与“性质”的逻辑关系，通过探索性质定理的逆命题是否成立而得出判定定理.研究矩形、菱形和正方形的基本套路和思想方法是一样的，都可以从平行四边形的研究中迁移过来，因此可以设计为数学探究活动的素材，完全让学生自主探究.