例谈“平面向量”中“结构模式”的建构和应用①——一道2019年高考题引发的思考

吴莉娜 陈玉娟

(江苏省常州高级中学 213003)

1 问题的提出与呈现

2019年高考刚结束时,多种渠道传出了“今年数学难”的声音,对此,人教版新编教材主编章建跃博士说：“看了今年的高考题,感觉这些题目很平凡,与教材上的题目没有本质性差别,看到网上铺天盖地的‘数学太难’,又使我感到非常的困惑,问题出在哪里呢”?很多知名专家和一线教师参与讨论：“教师教学中不重视教材、让学生做太多的题目”、“学生阅读碎片化、缺乏深入思考的习惯、稍有困难就上网刷题”.……对此章博士提出：“我觉得,已经到了非对我们的数学课堂教学进行深刻反省的时候了”.

高考结束后,笔者在与本校考生的交流过程中发现,很多同学感觉填空的第12题(考题如下)比第13、14题难.

图1

为此,笔者仔细研究了该题,并与教研组老师沟通交流,反思我们的教学,大家对以上专家的见解很有共鸣！我们在教学中常常更多强调的是对数学概念的理解,对定理、公式的推导,对经典题型的训练,而忽视如何从问题出发抽象概括建立数学模型,通过对模型的分析研究去认识和解决问题的训练.长久以往,学生应用意识和创造能力难以得到有效的培养.本文以此高考题为载体,就苏教版《高中数学必修4》中“平面向量”的教学,谈一点自己的思考.敬请同行批评指正.

2 问题的分析与解决

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,有着极其丰富的实际背景.它把运算的对象从数、字母扩展到了向量,这是学生第一次有意识地根据解决问题的需要定义运算,这无疑是学生认识上的一次飞跃,带给他们比较大的困难.因“陌生”而“害怕”,所以考生感觉第12题难于熟悉的第13的“三角”题和第14的“函数”题就不足为怪了！

笔者认为教材是教学的依据,是实现课程目标、实施教学的重要资源.教师应较好地使用教材,但又不囿于教材,潜心挖掘教材的内蕴功能.这样才能展现教者的内功和智慧.

2.1 以教材编写意图为基准点,构建知识结构体系,深刻理解向量概念与运算

向量是重要的数学模型,学习数学模型的最好方法是经历数学建模过程.苏教版教科书是按照“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开的.这样处理体现了数学知识产生和发展的过程,突出了数学的来龙去脉,有助于学生理解数学的本质,形成对数学完整的认识,达到培养学生的创新思维和理性思维的目的,同时也有助于数学应用意识的发展.

为此,笔者认为教学中应以核心概念和重点知识为主线,整体设计和把握单元或章节知识的基本结构,帮助学生在头脑中建构起良好的知识体系和结构模式,实现知识和方法的结构化,以利于学生清晰、系统地研究、理解和掌握这些数学知识和模型.

图2 平面向量一章知识结构图

图3 平面向量的加法一节的知识结构图

教学中应注意应用对比和类比的方式,化陌生为熟悉,这样可以加深学生对知识的理解.

本章要求学生掌握向量的线性运算和数量积的运算,每种运算都有不同的运算形式.教学中应系统整合,重点突出,使相应的核心概念、基本运算和性质形成一个有机整体.

表1 平面向量基本运算结构图

续表

进行以上知识储备和“热身运动”之后,就可以游刃有余地解决例1了.

2.2 以向量基本运算为切入点,选择不同的运算模式,灵活解决高考题

不同的解题方法,可以培养学生不同的思维方式.通过一题多解,可以开阔学生思路、发散学生思维,让学生学会多角度分析和解决问题.

2.2.1 依据平面向量定理,构建基底,运用向量运算的代数性质解决问题

除了向量的运算法则及运算律可以进行横向类比,向量的一些重要定理,如一维情形下的共线条件,到二维情形下的平面向量基本定理,进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理,也可进行纵向类比.

苏教版《高中数学必修4》对这两个定理分别是这样描述的：

向量共线定理对于两个向量a(a≠0),b,如果有一个实数λ,使b=λa(a≠0),那么b与a是共线向量；反之,如果b与a(a≠0)是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa(a≠0).

平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.

有了这两个定理的“保驾护航”,就可以构建基底向量,把题设和目标中的向量都集中用基底向量表示,运用向量的代数运算形式和性质使问题得以解决.

“基底法”是向量问题中比较通用的一种解题模式.

2.2.2 根据题设图形特点,构建辅助线,运用向量运算的几何形式解决问题

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具和数学概念.它既有大小又有方向,大小反映了向量数的特征,它可以运算.方向反映了向量形的特征,可以刻画点、线、面等几何对象.所以在教学中应突出数形结合思想,从形与数两方面来理解、研究向量及其运算.

解法2过点D作DM∥CE交AB与点M,如图4.因为D是BC中点,所以M是BE中点,又BE=2EA,所以E是AM中点,所以O是AD中点.

图4

“几何法”是向量问题中比较直观简洁的一种解题模式,更适合用于填空题.

2.2.3 依托平面直角坐标系,建系设点,运用向量运算的坐标形式解决问题

向量的坐标定义的引入,为向量提供了新的语言——“坐标语言”.这种定义和用正交分解的方法给出的定义是等价的,它从“数”的层面通过坐标来对向量进行考察,从另一方面突出了数形结合的思想.平面向量坐标运算及其性质,实际上只是把相关知识 “翻译”成“坐标语言”,但更容易为学生接受和理解.

解法3以点E为原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,如图5.设AB=3,C(a,b),

图5

把相关坐标代入化简得

a2+2a+b2=2,即(a+1)2+b2=3.

“坐标法”是向量问题中比较方便,也是学生比较熟悉和喜欢的一种解题模式.

最后需要指出的是,就此高考题的解法,运用特殊化原则,设AB⊥AC最为简洁易行.

2.3 以数学思想方法为生长点,灵活选用运算模式,提升数学素养

学习数学知识离不开数学思想方法.从教育心理学的角度看,在知识的领会、知识的保持、知识的应用三者中,教学更应侧重于知识的应用.笔者认为平面向量的教学应以概念、运算为基础和载体,把化归的思想、数形结合的思想、整体替换的思想、方程的思想等数学思想在解题策略中加以渗透,融会贯通,设计合理简捷的运算程序,灵活选用运算模式,从而进一步培养学生的创新精神,提高学生数学解模的能力和数学素养.

通过广泛联想,积极创新思维,多方位探求,我们可以得到多种解法,如：

也可以从条件出发,联想到平行向量和向量模的几何意义,运用数形结合的思想,从而简化运算.

把上述各种求解的思想方法整合融通,可以总结得出如下的框架结构：

3 结束语

布鲁纳指出:“基本概念和原理是学科结构最基本的要素”,这些基本结构反映了事物之间的联系,具有“普遍而有力的适用性”.向量既是重要的数学模型,又是重要的物理模型,知识体系的整体性、相通性、关联性的特点决定解决向量问题方法的多样性和普遍性.教学中首先应是在见树木更见森林,见森林才见树木下整体构建知识体系.其次要体会向量概念与运算的意义,感悟运算、推理在探索和发展中的作用,拓宽思路、探索求新去研究结构模式.最后,应引导学生多方位思考,注重数学知识与数学思想方法的有机渗透和灵活运用去解决数学模型.这样才能有助于学生深刻理解、熟练掌握和灵活运用数学知识,才能切实提高教学质量,有效实施学生数学素养的培养和落实.