均值不等式在中学数学的应用

李方杰

摘要：本文举例说明均值不等式的定义，均值不等式在中学数学中求解最值问题，均值不等式恒成立的问题，运用均值不等式比较代数式大小的方法。均值不等式的证明过程及整理中学数学中均值不等式的易错点，并对其进行归纳与分析。

关键词：中学数学;均值不等式;分类探究

引言

量具有相等的关系，也具有不等关系，所有比较量大小的问题都需要用到不等式的知识。不等量之间的关系，我们一般使用不等式来描述它，它不仅仅描述了量之间的关系，在其它方面也有一定的涉及。不等式的存在给很多原本无法解决的问题提供了新的解决方向。

均值不等式这一内容是高中数学必修5不等式部分的重点之一，其在不等式的理论中也占据着不可动摇的地位。同时运用均值不等式求解最值问题也是高考数学考查重点，《高中数学课程标准》中也对这一部分内容做出了相关的教学规定，均值不等式的应用在整个高中数学中都有一定的涉及。运用均值不等式求解最值问题也是历年以来高考考查的重要知识点，因此对均值不等式的性质进行归纳研究很有必要。

一、均值不等式

1.均值不等式定义

（1）定义均值不等式也叫做平均不等式。调和平均数（Harmonic mean）、几何平均数（Geometric mean）、算数平均数（Arithmetic mean）及平方平均数（Quadratic mean）的不等关系就称为均值不等式，即或者

其中：

调和平均数（Harmonic mean）

几何平均数（Geometric mean）

算数平均数（Arithmetic mean）

平方平均数（Quadratic mean）

（2）均值不等式的性质

一般的，对于均值不等式有以下性质（1）若为非负数，即;

（当时，取“=”成立）

（2）若为非负实数，即;

（当时，取“=”成立）

（3）若为非负实数，即;

（当时，取“=”成立）

（4）若为非负实数，;

（当时，取“=”成立）

对上述均值不等式的性质，这里做以下补充说明：

（1）上述四个式子称是中学中常用的均值不等式

（2）一个重要的不等式链：（，当且仅当a=b取“=”）

（3）称为几何平均数（Geometric mean），称称为算数平均数（Arithmetic mean），可描述为两个正数的几何平均数小于或等于它们的算何平均数。

从均值不等式还可观察出：

若且（为非负数），

则时，;

若且（为非负数），

则时，。可简单记为“和定积最大，积定和最小”。

但应注意：

（1）均值不等式成立的前提条件：若满足前提条件就可以直接运用，若不满足需改变其符号再运用;

（2）在运用均值不等式时遇到不能直接使用均值不等式解决的题型，可先根据均值不等式的性质对它进行变形，凑成能够使用均值不等式的形式;

（3）可否取等号，若要求函数的最大、最小值，只有在能取等号时才能确定函数式的最值，除此之外不能使用均值不等式求其最值，只能用其它方法求最值。

综上所述：合理运用均值不等式的口诀可记为“一正二定三相等”。

二、]均值不等式求解最值问题

1.求解函数最值

本节将在举例均值不等式在求解最值问题的应用中，对用均值不等式求解最值的方法做了归纳总结。在运用均值不等式时的应注意前提条件“一正二定三相等”，一般来说在实际解题过程中均值不等式的使用是需要进行变换，约分等多种变形手段而得到的。

2.拼凑法

（1）拼凑定和

例3.1求的最大值。

解：变形得，

根据均值不等式有，

所以，

只有在，即时，“=”成立，

由此得时， 为函数的最大值。

解题反思：此题，将根号外的正变量移进根号内进行集中变元，再对其添上系数4，便可得均值不等式中的“和定积最大”。

（2）拼凑降幂

例3.2若，求的最大值。

解：，

故，即当时，等号成立，則的最大值为2.

（2）换元法

例3.3 已知，。

解：由题可得，因为，

所以，令，

则，，即，

故，所以。

解题反思：首先直接利用均值不等式转化为解不等式问题，再通过换元的技巧，把复杂的式子变为简单。

（3）参数法

例3.4 已知为正实数，求的最小值。

解：由题可知，无法直接计算，因此可添加参数，

即，

函数这是可取最小值，此时时，。

解题反思：本小题通过添加参数进行均值不等式，最终达到分子与分母约掉未知数而求出函数的最值。

在解题的过程中，部分可以直接用均值不等式求解，更多的时候，需要注意均值不等式的多种形式，灵活运用，多种方法相结合，熟练掌握多种变形技巧。

三、均值不等式与恒成立问题

恒成立问题是高考中的热门考点之一，函数法、最小值法、数形结合法等等都是解恒成立的重要方法，然而用均值不等式解恒成立问题也是一种应用比较广泛的方法，一般有两种处理方式：

（1）若不等式在区间D上恒成立

则等价于在区间D上;

（2）若不等式在区间D上恒成立

则等价于在区间D上。

例4.1已知x，y为正实数且，若使不等式是恒成立的，求实数的取值范围？

解：由题可知，

所以，

当且仅当时，等号成立

所以x+y最小值为16，故的取值范围为。

解题反思：本小题灵活的运用关于“1”的恒等式，将“1”进等量代换，以及运用了不等式的基本性质恒成立。

例4.2假设，都有不等式成立，求m的取值范围。

解：由题可知对任意，

不等式恒成立，故有，

即，

由于，

故，所以m的取值范围为。

解题反思：本题主要考查了恒成立问题，对于此类问题解法有很多，在此主要介绍了分离变量法与均值不等式相结合的方法。

对于大多数有关不等式恒成立问题首先应转化为求其最值问题，再结合均值不等式的运用法则“一正二定三相等”，选取适当的方法，从而解决问题。

四、比较大小

对于比较两个代数式的大小这类问题，通常有作差比较法，中间值法，综合法，分析法，放缩法等方法。均值不等式作为不等式的一种，往往在这类题中能发挥出意料之外的效果。

1.分析法

例5.1

若， ，

则的大小关系是？

解：因为，所以

所以。

解题反思：均值不等式作为不等式的一种，其本身就反应了两个数之间的大小关系，对其进行适当的变换，就能使用均值不等式进行求解。

2.放缩法

例5.2已知，，问的大小关系？

解：

因为，所以，即

故，所以。

解题反思：本题主要考查均值不等式的变形，

将作为标准进行缩放，便可解决此题。

五、证明不等式

中学证明不等式一般采用比较法，代换法等。但有些问题运用上述方法无法快捷有效的解决，此时使用均值不等式对问题进行处理，这样会使复杂问题简单化，这里举例说明。

1.代换法

例6.1已知，且，

求证：。

解：由于，

所以，，，

又因为，则，，，

故

命题即证。

解题反思：本小题灵活应用“1”作为桥梁进行等量代换，为运用均值不等式提供条件，最后叠加解决该题。

2.拆项法

例6.2 假设，证明：。

解：证明：由题可知 ，

可得

（当时“=”成立）。

3.反证法

例6.3已知，求证：。

解：

假設，则

而，故，

所以，从而.

所以，即，故，这与假设矛盾，故.

解题反思：本小题利用立方和公式及均值不等式结合进行反证与已知事实产生矛盾，从而得出结论。

六、均值不等式应用易错分析

均值不等式应用非常广泛，可以巧妙地解决两正数和、积、倒数和以及平方和的相互转化问题。因此常利用均值不等式解决最值、恒成立、比较大小、证明不等式等问题。然而我们往往在应用中容易出错。这就是由于运用时忽略了均值不等式成立的前提条件，从而走入种种误区导致解题错误。

1.忽略“正数”条件致错

例7.1已知，求函数的最小值？

错解：由题可知

当且仅当时，等号成立，所以。

错误分析：在应用均值不等式求解时，未注意题中已知条件而导致结果错误，正所谓“一正”不满足而使用均值不等式。

2.忽略验证“和为定值” 或“积为定值”或致错

例7.2已知为正实数，求的最小值？

错解：因为x>0，所以，

当且仅当，等号成立，故。

错误分析：在利用均值不等式求解“积”或“和”的最值时，必须先满足“积为定值”或“和为定值”，而上诉过程与的积不为定值而导致应用错误，正所谓“二定”不满足。

3.“等号”不成立致错

例7.3已知且，求的最小值？

错解：因为，所以，则，

即，故的最小值是8。

错误分析：过多的使用均值不等式，而导致等号成立的条件不一致，“当且仅当等号成立”

“当且仅当等号成立”

不满足同时成立，因此答案错误。

结语

均值不等式作为不等式的一类，在整个中学都有一定的应用，在高等教育中也有着它的一席之地。经过对此文的撰写，我深刻理解了均值不等式对于数学这一学科的意义。它为原来无法解决的问题找到新的解决办法，体现出均值不等式的价值。对于中学生来说，探索、认识、理解知识，体会学习的意义，让他们明白学有所用，提高对于学习的兴趣和积极性，形成良好的思维能力。学海无涯，对于均值不等式在中学数学的应用的分析还有很长一段路需要走。它需要各位老师、学者在理论与实践中不断地探索与研究。

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