一类极值点偏移问题的不等式

◇ 江苏 孙 磊 成 钰

极值点偏移问题的本质是由于函数在极值点左、右两侧的增减速度不一致，导致函数的图象不具有对称性，极值点并不是在定义域的中间位置.虽然需要证明的不等式各不相同，但不少题目都有极其相似的解题思路，现整理如下.

首先介绍一个重要不等式：

证明令所以

因为0＜λ＜1，所以f′(λ)＞0，即函数y＝f(λ)在(0，1)上单调递增，所以f(λ)＜f(1)＝0，即lnλ＜

许多极值点偏移问题都可以化归成不等式①来解决.

例1已知函数其导函数记为f′(x)，若存在实数使得f(x1)＝f(x2)，求证：

分析因 为所以要证只要证x1＋x2＞2即可.

我们可以不妨假设x1＜x2，因为f(x1)＝f(x2)，所以x1和x2必然存在内在联系，因此可以令x1＝λx2，于是0＜λ＜1，下面只需要考虑如何将x1＋x2＞2转化为λ 的一元不等关系.

证明因为f(x1)＝f(x2)，所以两边取对数可得lnx1－x1＝lnx2－x2，整理可得所以

不妨假设x1＜x2，令x1＝λx2，于是0＜λ＜1，所以

总结一下解题步骤：1)减元；2)构造不等式；3)得结论.

例2已知函数g(x)＝x(2lnx－mx－1)，区间D＝(0，＋∞)，设函数g(x)在区间D 上的两个极值分别为g(x1)和g(x2)，求证：x1·x2＞e.

分析本题对g(x)求导后的题型与例1相似，但多了参数m，如何消去参数m 是求解本题的关键.同时考虑到求导以后式子的特征，可以将本题要证的结论转化为证明lnx1＋lnx2＞1.

证明因为g′(x)＝2(1＋lnx)－2mx－1＝1＋2lnx－2mx，且函数g(x)在区间D 上的两个极值分别为g(x1)和g(x2)，所以

不妨假设x1＜x2，令x1＝λx2，于是0＜λ＜1，所以

由不等式①可得要证的结论.

至此，再完善一下解题步骤：1)消参数；2)减元；3)构造不等式；4)得结论.

通过以上两个例题的证明过程，我们不难发现将所要证明的结论经过适当的变形整理，最后都转化为不等式①.因此构造不等式的方法可以作为这类问题的解决途径进行尝试.

极值点偏移问题是能够考查学生思维能力、运算能力、综合分析能力的一种题型，具有很高的研究价值.构造不等式的方法是解决这类问题的一个新的视角，但是否适合所有题目，这种方法有没有局限性，还需要在以后的教学中进一步研究.