TIMSS2015对高中生数学认知的评价研究

陈亚萍 曾小平

(1.黔南民族师范学院教育科学学院 558000;2.首都师范大学初等教育学院 100048)

国际数学与科学教育成就趋势研究(TIMSS)，是由国际教育成就评价协会(IEA)组织的大型研究项目．TIMSS认为，高中阶段的数学学习应当为大学学习做充分的准备，而大学学习又是为将来职业做准备的．今天的高中学生，将会成为明天的科学家与工程师，将会成为科学创新与技术发展的重要力量．因此，国家和社会都应该高度关注高中生的数学水平，以确保其为富有挑战的大学学习做好充分的准备．首次TIMSS高中数学评价于1995年进行，第二次于2008年进行，第三次于2015年进行．2014年3月，IEA的官方网站上发布了TIMSS2015高中数学评价框架，2016年11月公布了评价结果，其中对学生数学认知的评价值得我们学习和参考．

1 TIMSS2015的高中数学认知

TIMSS2015高中数学评价的“认知领域(Cognitive Domains)”包含“知道”、“运用”和“推理”三个区域，各区域所占比重分别为35%、35%和30%．

(1)知道(Knowing)

“知道”是指学生需要知道的数学事实、概念和程序．该区域包含“回忆”、“辨认”、“计算”和“提取”四个层级，各层级的含义见表1．

表1 “知道”的四个层级

(2)运用(Applying)

“应用”是指运用知识和概念的理解来创造表征和解决问题的能力．问题可能来源于现实生活，也可能来源于数学内部．该区域包含“确定”、“表征/建模”和“实施”三个层级，各层级的含义见表2．

表2 “运用”的三个层级

(3)推理(Reasoning)

“推理”需要逻辑性和系统性思维，包括形成猜想、基于预先假设与已有规则进行逻辑演绎推理和证明结果．该区域包括“分析”、“整合/综合”、“评价”、“结论”、“概括”和“辩护”六个层级，各层级的含义见表3．

表3 “推理”的六个层级

2 TIMSS2015的数学认知基准

TIMSS2015以高中数学内容为载体，通过对学生运用数学知识解决问题的研究，将高中学生的数学认知划分为三个国际基准(International Benchmarks)，即中等(Intermediate)、较高(High)和高级(Advanced)，对应分值为475、550和625．

(1)中等基准

学生具有使用代数、微积分和几何中的概念和程序来解决常规问题的能力．具体表现为：能够应用公式或公式变形来解决问题，确定几何数列中的项，分析简单对数方程的近似解，识别绝对值函数的图形和识别复合函数；能够求指数函数、三角函数和简单有理函数的导数，求有理函数和指数函数的极限，在函数的导数和函数的图形之间建立联系；能够使用几何图形的基本属性和毕达哥拉斯定理来解决问题，以坐标的形式进行向量的加与减．

例如，在“知道”维度，在给定函数图像的情况下识别其绝对值函数的图像，学生可以完成问题1．

问题1：已知函数y=f(x)的图像如下．

那么，函数y=|f(x)|的图像是哪一个？( )

A

B

C

D

又如，在“知道”维度，确定等比数列的项，学生可以完成问题2．

A.t6B.t7C.t8D.t81

再如，在“应用”维度，在距离和仰角已知的情况下计算高度，学生可以完成问题3．

问题3：海中有一个小岛，小岛上有一座灯塔，小岛高出海平面4米．海面上有一艘航船，与灯塔的水平距离为170米，与灯塔顶的仰角为10°，灯塔的高度最接近多少？( )

A.22 B.26 C.30 D.34

(2)较高基准

学生具有大量使用代数、微积分、几何和三角中的概念和程序来解决常规和非常规情境中的多步骤问题的能力．具体表现为：能够分析和解决代数问题(包括在真实情境中的问题)，能够解决需要解释函数与其图像相关的问题，用函数观点分析不等式，可以进行对数运算和复数运算；能够了解连续性和可微性，可以分析函数解析式和图像，可以将函数图像与其一阶和二阶导数的图像和表达式联系起来，对积分有一些概念性的理解；能够使用三角函数来解决涉及三角函数和几何图形的各种问题，可以使用笛卡尔平面来解决问题，识别向量的垂向量，并证明坐标系中给出的四边形是平行四边形．

例如，在“应用”维度，根据函数图像确定参数的值，学生可以完成问题4．

又如，在“应用”维度，根据三角形中的角计算边的比，学生可以完成问题5．

再如，在“运用”维度，解决涉及两个圆柱体体积的应用题，学生可以完成问题6．

问题6：工厂制造底面直径为6厘米、容积为600立方厘米的圆柱体容器．如果要使圆柱体容器容积扩大到750立方厘米，高度保持不变，那么它的底面直径应当是多少厘米？

例如，在“推理”维度，根据一阶导函数确定原函数，学生可以完成问题7．

问题7：函数f(x)的一阶导数f′(x)的图像如下．

下面图像中，哪个最有可能是函数f(x)的图像？( )

A

B

C

D

(3)高级基准

学生深刻理解概念、掌握数学运算程序和数学推理技巧，可以解决复杂情境中的代数、微积分、几何和三角函数问题．具体表现为：在代数中，学生可以用函数推理解决纯粹数学问题，解决复数与排列问题，进行级数求和；在微积分中，深刻理解函数的连续性和可微性，可以解决不同背景下的优化问题并证明其解答的合理性，可以使用定积分来计算两条曲线之间的面积；能够使用几何推理来解决复杂问题，用向量的属性来表达向量之间的关系，使用三角函数来解决关非常规几何图形问题．

例如，在“运用”维度，根据系数确定函数图像的交点，学生可以完成问题8．

又如，在“运用”维度，在给定底面直径和高的关系下求圆柱的最大体积，学生可以完成问题9．

问题9：用一个通过圆柱中心的平面去截圆柱，截面是一个周长为6米的长方形．满足这个条件的圆柱的最大体积是多少？( )

A.2.5米 B.2米 C.1米 D.1米

E.0.5米

再如，在“推理”维度，能计算函数图像围成图形的面积，学生可以完成问题10．

问题10：计算函数y=x2与y=5x-4所围成区域的面积．

3 数学认知的研究结果

来自全球的10个国家和地区超过5.6万名学生参与了TIMSS2015的高中数学评价研究，取得了比较可信的研究结果．

(1)整体趋势令人失望

TIMSS2015高中数学的研究显示：每周进行6小时以上的数学加强学习的俄罗斯学生和黎巴嫩学生成绩最高，成绩分别为540和532．其余俄罗斯学生，连同美国和葡萄牙学生的数学成绩第二高，成绩分别为485、485和482；挪威、法国和斯洛文尼亚学生的成绩相当，分别为459、463和460；瑞典和意大利学生的成绩相当，分别为431和422．

TIMSS2015高中数学的研究显示：参与国家和地区中，达到高级、较高和中等基准的人数比例为2%、14%和43%．可见，要要达到高级基准非常困难，俄罗斯、黎巴嫩和美国7%～10%达到了高级基准，但在其他国家和地区只有1%～3%．与1995年相比，达到中级基准的学生百分比比较低，并且在4个国家和地区中出现了大幅下降．

在具有20年趋势数据的6个国家和地区中，法国、意大利和瑞典的高中生的数学成绩从1995年至2015年整体出现明显下降趋势．俄罗斯、斯洛文尼亚和美国没有显著变化．作为亮点，仅挪威和瑞典的高中生的数学成绩在2008年至2015年期间有所上升．

(2)认知存在不平衡性

在TIMSS2015研究的“知道”、“运用”、“推理”三个内容领域中，虽然在认知领域有一些平衡，但相对整体成绩而言，大多数国家和地区至少有一个优势和一个弱点．在2015的10个参与国家和地区中，在“知道”方面表现相对较强的有4个，较弱的有3个；在“运用”方面表现相对较强的有2个，较弱的有3个；在“推理”方面表现相对较强的有3个，较弱的有3个．

按性别划分的认知领域成就差异显示，男孩表现优于女孩，尤其在推理方面优势明显．在2015的参与国家和地区中，男孩表现比女孩好的国家和地区：在“知道”方面有5个，在“运用”方面有3个；在“推理”方面有6个，在数学认知方面没有发现女孩高于男孩的情况．

TIMSS2015高中数学的研究显示，男孩的总体数学成绩也明显高于女孩．参与研究的国家和地区中，在代数方面男孩高于女孩的国家和地区有5个，在微积分方面有5个，在几何方面有6个，在具体内容领域方面没有发现女孩高于男孩的情况．

4 TIMSS2015给我们的启示

虽然中国大陆没有参与TIMSS2015高中数学评价，但认真研读评价框架和结果，特别是对高中学生“数学认知”的评价研究，对优化我们的数学教育评价有重要的现实意义．

(1)关注对数学认知的评价

我们目前的高中数学教育评价与考试，主要关注学生对具体数学知识与内容的掌握程度．常常表现为以高难度、高技巧的题目，考查学生对数学概念的形式化记忆、考察学生对复杂的程序性数学运算，考查学生高难度的恒等变形．这些评价关注的是静态的数学的内容，而不是动态的学生的认知；侧重的是熟练的技巧，而不是有创建性的探索与思考．

数学是思维的科学，数学被誉为是人类思维的体操．TIMSS2015重点评价高中学生基础知识的掌握和数学思考的过程，重点关注学生数学认知的发展．因此，建议我们的数学教育评价，更多地关注学生认知的发展，降低试题难度，重点考察学生了解、理解、运用、推理和问题解决的具体过程．

(2)关注对问题解决的评价

我们目前的评价试题中有一部分应用题，大多是学生平时训练过的练习题，可以算作人为构造的文字题．它们是结构良好的、学生熟悉的、不用动多大脑筋就能计算出结果的封闭性试题；而不是结构不良的、陌生的、需要进行深入思考才能得到一定程度的答案的开放性问题．

反观TIMSS2015，重视对学生解决数学问题的评价．TIMSS认为解决问题是“应用”的核心，重点是熟悉日常任务，解决来源于现实生活和数学中的真实的问题．同时，TIMSS还认为 “推理”中列举的很多认知层级都会在思考和解决陌生的问题中表现出来，这是数学教育价值的外在表现．因此建议，我们的数学教育评价，应该设置一些学

生陌生的、结构不良的数学问题、准数学问题和现实生活问题；要让学生面对一些开放性问题与真实情境，在过程中考察学生的思维发展与认知状况．

(3)加强数学学习的性别差异研究

数学学习上的性别差异，一直是国际数学教育界关注和研究的难点问题．TIMSS2015的研究表明，男孩在数学认知的总体表现和三个维度上都好于女孩，尤其在推理维度差异明显．国外相关研究还表明，男孩在视觉/空间能力上优于女孩，而女孩在计算方面的表现优于男孩．可见，性别差异在高中阶段的数学学习中是存在的．

然而，我们国家的高中学生在学习数学上是否存在性别差异，至今尚未看到有一定说服力的研究．因此，我们需要加强这方面的研究，比如数学认知及其各个维度、数学态度与情感、数学计算与直观想象等方面是否存在性别差异．然后，我们才能科学地利用研究成果，为不同性别的学生提供有针对性的数学教育，更好地促进学生发展，提高数学教育的质量．