数学问题解答

2020年6月号问题解答

(解答由问题提供人给出)

(北京粉笔未来科技有限公司 郑小彬)

展开得abc=a+b+c+2,

则待证不等式

≤(a+b+c)2

≤2(ab+bc+ca-a-b-c),

由均值不等式有

故只需证

≤2(ab+bc+ca-a-b-c),

展开整理，等价于证

ab+bc+ca-2(a+b+c)≥0,

由均值不等式有

所以ab+bc+ca-2(a+b+c)

故不等式得证.

(山东省泰安市宁阳第一中学 刘才华 271400)

证明设∠BCD=α,∠ACD=β,则

⟺1-(sinα+sinβ)+(cosα+cosβ)-sin (α+β)+cos (α+β)=0.

设α+β=x，则β=x-α.代入上式并整理得

(1+cosα-sinα)(1-sinx)+

cosx(1+sinα+cosα)=0

故三角形ABC是直角三角形.

2548已知m>1,求证:存在相异正数a,b,使am-alna=bm-blnb=1,且a+b>2.

(四川省成都华西中学 张云华 610051)

则当x=1时,f′(x)=0,当01时,f′(x)>0,

得f(x)在区间(0,1)上为減函数,在(1,+∞)上为增函数,则f(x)≥f(1)=1.

由m>1可知函数y=f(x)图象与函数y=m图象有两个相异交点,

即关于x的方程f(x)=m有相异二实根,

即存在相异正数a,b,使f(a)=f(b)=m,

即am-alna=bm-blnb=1.

故存在相异正数a,b,

使am-alna=bm-blnb=1.

不妨设a>b>0，

2549如图1，△ABC中的边AC与BC不等，其内切圆I与△ABC的边BC、CA、AB切于点D、E、F,边AB的中点为M,.直线DE与△ABC的外接圆O交于点H、G,证明：H、F、M、G四点共圆.

(安徽省旌德中学 赵忠华 242600)

图1

图2

证明如图2，因为AC≠BC,

所以DE与AB不平行，

设直线DE与直线BA交于点X,

由圆I为△ABC的内切圆得

AE=AF,BF=BD,CD=CE.

从而XA·BF=XB·AF,

即XA·(XB-XF)=XB·(XF-XA),

即2XA·XB=(XA+XB)·XF=2XM·XF,

得XM·XF=XA·XB=XH·XG.

于是H、F、M、G四点共圆.

2550 设△ABC的三边长、三个内角平分线长、半周长及面积分别为a,b,c,wa,wb,wc,p,Δ,且∑为三元循环和,求证：

(1)

(天津水运高级技工学校 黄兆麟 300456)

证明由内角平分线长公式

立得

(2)

另一方面由

代入(2)式整理立得(1).

2020年7月号问题

(来稿请注明出处——编者)

2551 设△ABC的面积为S,证明：

(华中师范大学 国家数字化学习工程技术研究中心 彭翕成 曹洪洋 430079)

(江苏省溧阳市光华高级中学 钱德全 213300;江苏省溧阳市永平小学 张晓蔚 213333)

2553在锐角△ABC中，求证：

2cosAcosB+2cosBcosC+2cosCcosA

≤4cosAcosBcosC+1≤cosA+cosB+cosC.

(安徽省枞阳县宏实中学 江保兵 246700)

2554已知⊙O为△ABC的外接圆，⊙Ia为∠BAC内的旁切圆，∠A的外角平分线交⊙O于点P，直线PIa交⊙O于点T,⊙Ia切BC于点D,切AB的延长线于点E.求证：∠ATP=∠DTP.

(江西省高安市石脑二中 王典辉 330818)

(兴化市教育局教研室 张俊 225700)