浅谈高中数学课程中数列教学设计思路及实施方法

◇ 甘肃 郝大伟

数列是高考考查的重要内容.数列起源于生产与生活,人们在生活中能发现许多有规律的现象,这些现象大多数与数字有关.例如人们去银行存款的利率,它随着存款方式、存款年限的不同而发生变化.要发现这些规律,就需要用到数列的相关知识.

1 数列的定义(概念)

古希腊的一些数学家们经常研究一些数学问题,例如,他们研究1,3,6,10,…,发现这些数的排列都是有规律的,1可以看成是1颗石子；3可以分2层,第一层1颗石子,第二层2颗石子,一共3颗石子；6可以分3层,第一层1颗石子,第二层2颗石子,第三层3颗石子,一共6颗石子；10可以分4层,第一层1颗石子,第二层2颗石子,第三层3颗石子,第四层4颗石子,一共10颗石子等.这些石子可以摆成三角形点阵,按照这个规律排列下去,会得到一列数,数学家们就将其称为三角形数.同理1,4,9,16,25,36,…,被称为正方形数,因为这些数量的石子可以摆成正方形点阵.

数列的定义就是一列按照一定顺序排列的数,这一列数中的每一个数称为这个数列的项.例如,在数列中,排在第4位的数称为这个数列的第4项,…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.一般地,数列可以写成下面的形式：a1,a2,a3,…,an,…,项与项之间用逗号隔开.一般地,a1,a2,a3,…,an,…,这样的数列可以记为{an}.

2 数列的分类

由于不同数列是按不同规律排布的,所以数列也各不相同.有些数列可以找到某些规律,按照数列的排列规律可以把数列分成几类,分析某一类数列相同的特征有助于我们更好地认识这一类数列.

按照数列中项数的个数是否有限,可以把数列分成有穷数列和无穷数列；按照数列的每一项的大小关系可以把数列分成递增数列、递减数列、常数列以及摆动数列.顾名思义,一列数越来越大,例如1,2,3,4,5,6,7,8,这样的数列是递增数列；一列数越来越小,例如100,99,98,97,96,95,94,93,这样的数列是递减数列；一列相等的数,例如25,25,25,25,25,这样的数列是常数列；一列数有的大,有的小,可能前一个大,后一个小,到第三个又大了,例如32,－25,64,－98,25,－32,这样的数列是摆动数列.

高中数学课程中主要研究两种特殊的数列,即等差数列和等比数列.

3 数列的通项公式

我们知道了数列的前几项,能不能推出它的后面几项呢? 这就需要知道这个数列的通项公式.数列与函数有着一定的联系,例如一个函数的解析式为y＝7x＋9,当x＝1,2,3,4,…时,此时函数值为16,23,30,37,…,通项公式可以看成是数列的函数解析式,利用通项公式我们可以研究数列的性质.

4 数列的教学设计思路

在高中数学课程的数列教学中,可以先用现实生活中的例子引出对数列整体的认识,例如：人民币按面额可以构成数列：100,50,20,10,5,1,0.5(单位：元).

2019年某高中高一(1)班至高一(20)班入学人数也可以构成数列：62,61,58,59,60,62,66,59,58,60,61,53,57,60,61,62,59,57,62,56.

以现实生活中的例子引导学生直观理解数列这一概念,当学生对数列已经有所认识之后,再引导学生对项和项数进行理解.数列分类的依据不同,一种是依据数列的项数的个数,一种是依据数列的项的大小.

教学数列的通项公式时,刚开始只要求根据一个数列的前几项找规律,再写出这个数列的通项公式,让学生先对数列的通项公式有整体的认识和了解.等到研究等差数列、等比数列的时候再细细研究通项公式.另外还可以通过举例子的方法,给学生讲解求数列通项公式的方法——递推公式法.

如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示,这个公式就是这个数列的递推公式.

特别要注意的是并不是所有的数列都有递推公式.当学生认识和了解这些基础概念后,再着重给学生讲解数列的重点内容：等差数列和等比数列.

5 等差数列的教学实施方法

等差数列和等比数列有许多相类似的地方,本文主要阐述等差数列的教学实施方法.

研究数列项与项之间的关系、运算和性质可以先从一些特殊数列入手,数学研究常用的方法就是从特殊入手研究数学对象的性质,再逐步扩展到一般.于是在数列教学中,可以用现实生活中遇到的特殊的数列入手来研究.

案例1一个水库的水位为18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5.5m,那么从开始放水算起,水库每天的水位能组成数列：18,15.5,13,10.5,8,5.5.

案例22000年,在奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目,其中较轻的4个级别体重组成数列：48,53,58,63(单位：kg).

案例3我国的储蓄制度规定银行以单利的方式支付存款利息,按照单利计算本利和的公式是本利和＝本金×(1＋利率×存期).

例如,按活期存入一万,年利率是0.72%,那么按照单利,5年内各年末的本利和如表1.

表1

各年末的本利和组成了数列：10072,10144,10216,10288,10360.

让学生观察上面的4个数列,找一找它们共同的特点.这个时候给学生时间,让学生展示自己观察的成果,互相交流自己所观察到的特点.这些数列都有一个共同的特点：从第2项开始,每一项与前一项的差都等于同一个常数.从而引出所要讲授的等差数列的概念,这个常数就是这个等差数列的公差,公差常用字母d来表示,而上面的3个数列都是等差数列,公差分别是－2.5,5,72.

特别地,需要注意的还有等差中项的概念与性质,由3个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列,这时,A叫作a和b的等差中项,另外还有2A＝a＋b,这是等差中项的性质.接着就可以继续探索等差数列的通项公式等有关知识了……

给学生讲解完毕之后,接下来的环节是例题讲解,习题巩固,小结.学生记住了知识,还要让他们学会运用,所以练习题要找好,练习题也要适合学生的实际情况,这样才能达到学会运用的目的.