“未知量多于等量”解题技法

陈建东

翻阅历年中考数学试卷，不难发现有这样一类应用问题：题目中只能找到一个等量关系，但又涉及两个未知量，也就是说未知量多于等量. 是命题专家出错了试题吗？其实不然，求解时我们只需从等量关系的实际意义出发，先引进两个未知数，再利用整数的性质求解即可. 现举四例进行说明.

一、整数法

例1（2019·黑龙江·齐齐哈尔）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元. 学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（ ）.

A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种

解析：此类问题的求解一定要考虑到足球的个数是正整数.

设购买A品牌足球x个、B品牌足球y个，

根据总价=单价 × 数量，可得60x + 75y=1500，∴y=20 - [45]x.

故应选B.

二、整体法

例2（2019·浙江·宁波）小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元;若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元. 若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（ ）.

A. 31元 B. 30元 C. 25元 D. 19元

三、列举法

故应选B.

四、讨论法

例4（2019·江苏·盐城）体育器材室有A，B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克.

（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？

（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？

解析：（1）设每只A型球x kg，每只B型球y kg，有两个等量关系：1只A型球的质量+1只B型球的质量=7千克，3只A型球的质量+1只B型球的质量=13千克，列出方程组[x+y=7，3x+y=13，]解得[x=3，y=4，]则每只A型球3 kg，每只B型球4 kg.

（2）考虑到A型球、B型球的质量共17千克，这样可引进一个未知数，进而通过分类讨论解决问题.

设A型球1只，B型球a只，根据题意得3 + 4a = 17，解得a=[72]，不符合题意;

设A型球2只，B型球b只，根据题意得6 + 4b = 17，解得b=[114]，不符合题意;

设A型球3只，B型球c只，根据题意得9 + 4c = 17，解得c=2，符合题意;

设A型球4只，B型球d只，根据题意得12 + 4d = 17，解得d=[54]，不符合题意;

设A型球5只，B型球e只，根据题意得15 + 4e = 17，解得e=[12]，不符合题意;

设A型球6只，B型球f只，根据题意得18 + 4f = 17，解得f=-[14]，不符合题意;……

于是符合题意的情况只有A型球3只、B型球2只这一种情况，则A型球有3只，B型球有2只.

（2020·黑龍江·龙东）学校计划用200元购买A，B两种奖品，A种奖品每个15元，B种奖品每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案.（ ）

A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种

答案：B