高等数学课程中的案例教学探讨

摘要：案例教学是以问题为导向激发学生的教学模式，需要把案例教学引入到高等数学教学中。

关键词：高等数学;案例教学

高等数学作为理工经管类等学科的一门基础课，不仅是学习后续课程的基础工具，还是培养大学生理性思维的重要载体，在培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力和空间想象力以及分析和解决问题能力等方面上，具有其它任何课程难以替代的优势。

最近几年随着MOOC课程和微课快速发展，教学方法和教学内容思想、方法、手段变化较快，我们学校也紧跟时代潮流，也在紧张地进行着变革，但数学教学内容变化不大，教学方法还是主要以课堂传授理论知识为主。这与当前总体教育形势还不匹配，与大多数学生的实际需求也不匹配。通过调查发现：学生还是普遍反映高等数学很难学，很枯燥，与现实生活脱节严重，不知道学高数有何用途。在类似的背景条件下，各高校都在积极应对，进行着有针对性的教学研究和改革。

联合国科教文组织曾进行过一次广泛的调研，对课堂讲授、案例教学、视频教学、角色模拟、研讨会、自学等多种形式的教学方法进行效果对比发现：在学生分析问题和解决问题能力提高及观念培养上，案例教学的效果最好; 在传授知识和学生所得知识的留存度上，案例教学次好[1]。因此我们尝试在高等数学教学中引入案例教学。由于案例教学需要比课堂讲授多得多的时间，但是我们学校的高等数学课时少，平时都比较紧张地赶进度，怎样为案例教学争取时间呢。经讨论决定以降低理论难度，强化具体应用的教学观念为指导思想，针对我校学生的实际需要，删减高等数学教学中一些定理证明、公式推导过程为案例教学提供课堂时间保证，同时增加高等数学教学中一些重要概念的产生背景介绍和一些基本方法的应用实例讲解，体现案例教学过程。大家搜集与高等数学课程内容相呼应的教学案例，并将这些案例形成传播数学思想与方法的普及性文章。再把这些案例设计好应用到课堂上去。

高等数学教学必须有利于提高学生应用数学的能力，培养学生的创新意识、创造精神和能力已经成为一种共识。国内处在改革先进行列的院校有同济大学、北京航天航空大学等211院校，他们的《高等数学》已经被评为国家级精品课程。其中以“弱化理论、强调应用”为导向来教育和学习大学数学也是改革方向之一，将高等数学教学中引入案例教学已经被验证是行之有效的方法。复旦大学、北京理工大学、天津大学等院校已经有比较成功的经验。高等学校大学数学教学研究与发展中心正在资助多所高校进行案例教学研究项目。

按照高等數学课程的教学过程，将可以将数学案例分为概念导入、理论阐述和实际应用三种类型[2]。接下来，我们队函数在一点处的导数的概念引入中实施案例教学进行详细讲解。

案例1怎样描述变速直线运动s=s（t）在某一时刻的瞬时速度？

学生看到问题首先会疑惑：什么是瞬时速度？因此这是应该将速度概念进行扩展。学生以前接触过的速度实质上是从起始时刻到终止时刻这一时间段内的平均速度。瞬时速度标明时间段任意小，实际就是终止时刻无限接近于起始时刻。因此瞬时速度是平均速度的在终止时刻趋于起始时刻时平均速度的极限。因为在时间段（终止时刻与起始时刻之差即时间变化量）内走过的位移是终止时刻的位移函数值与起始时刻位移函数值之差（也就是位移变化量），因此平均速度是位移的变化量与时间的变化量的比值。考虑到当终止时刻趋于起始时刻时，时间的变化量趋于零，因此瞬时速度可以表达为时间的变化量趋于零时位移函数是s（t）的变化量与自变量t的变化量之比的极限。

案例2怎样描述曲线y=f（x）在曲线上一点P处的切线的斜率？

学生首先会对切线概念有些模糊，从而无从下手。这时要告诉学生切线是割线PQ（Q是曲线上不同于P的动点）当Q无限接近于P的极限位置。从而可以将切线问题转化为割线求极限的问题：当Q趋于P时，切线的斜率等于当Q趋于P时割线PQ的斜率。PQ的斜率等于这两点在直角坐标系下的纵坐标之差与横坐标之差的比值。而点Q的纵坐标减去点P的纵坐标正好是因变量y的变化量，点Q的横坐标减去点P的横坐标正好是自变量x的变化量，因此PQ的斜率等于因变量y的变化量与自变量x的变化量的比值。考虑到当Q趋于P时，自变量x的变化量趋于零，因此切线的斜率等于当自变量的变化量趋于零时因变量y的变化量与自变量x的变化量之比的极限。

以上两个问题的共同之处首先要将以前熟悉的速度和割线概念分别扩展到瞬时速度和切线，而最后的表达式共性是它们都是变化量之比的极限。再引入导数的定义就自然而然了。

而且，上面两个案例正好分别是微积分的两位创始人牛顿和莱布尼兹创立微积分的角度，牛顿基于物理问题，而莱布尼兹基于几何问题。类似的还有定积分概念的引入中也可以基于物理问题和几何问题。牛顿和莱布尼兹分别独立创立了微积分，有异曲同工之妙。

以上只是高等数学中导数概念引入中的案例，还有更多概念引入、理论阐述和实际应用方面的案例需要我们挖掘和设计到高等数学教学中。

总之，通过高等数学教学中引入案例教学的教学模式，可以使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力;提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，也能让学生具备在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题的能力。为了这些共同的目标，我们要共同努力！

参考文献：

[1]孙军业.案例教学[M].天津：天津教育出版，2013，3.

[2]董庆华. 纺织服装教育[J].高等数学课程的案例教学实践，2013，2：73-76.

北京服装学院教学改革立项项目JG1820。

作者简介：戴桂冬（1978-），女，副教授。