二次函数应用题解题研究

孙彩虹

【摘要】二次函数是初中数学中理论较深，应用较为复杂的代表知识，学生在解决二次函数题目时也常见多类障碍。对此，本文提出了二次函数应用题解题能力培养策略研究，从解题核心思想出发，提出二次函数解题的常见方法，并对教学实践中训练学生相应解题能力的方法进行说明，以期为初中教师提供参考。

【关键词】二次函数;应用题;解题;初中数学

前言

二次函数是中考数学的必考内容，也是初中函数教学的重点。二次函数表现形式较多，能够以等式等代数形式或抛物线等几何形式出现，需要学生具备较强的逻辑思维能力及抽象思维能力。应用题是数学知识与案例的现实应用，需要学生根据问题背景抽象出相应的数学模型，选用科学的方法进行求解。

一、二次函数应用题解题的思想

一次函数的几何特性是直线，二次函数则有明显不同，其几何特性是曲线。从本质上看，二次函数解题错误的根本问题在于二次函数的代数和几何特性都在试题中有较高的出现率（一次函数试题中代数运算的考察比重更高） ，在一些复杂问题中学生容易找不到问题的关键点，进而出现错误。因此，本文认为二次函数的解题关键在于把握问题的核心，从而寻找最适合的数学方法来解决相应问题。 例如试题“函数y = x2 + 2ax + b的图象与x轴交点分别为A、B，与y轴交于点 C（ 0，2） ，已知三角形ABC面积为6，求 a、b的值。”该问题的题干中同时给出了二次函数的代数（函数式）和几何性质（坐标系中的点） 要素，多数学生会习惯性地绘制函数图形来分析问题，然后把重点放在求A、B两点的坐标上，这时学生必然会发现在图形中难以准确判断A、B坐标点，仍要回归到函数关系上来（仅借助三角形面积知识求取交点差值来获取函数值为0时两个解的差值，即，把结果代入二次函数根的计算公式即可求出 a、b 的值。因此，解决二次函数问题的一个核心思想是判断题目所要考察的问题，虽然题目中对于二次函数代数和几何特性的展现频率都相对较高，但实际考察的内容仍会以代数性质为主。因此要注重培养学生提炼关键条件和要素并尝试转化的能力，最终向二次函数及其根的代数形式靠拢，把握转化和简化这一核心思想来解决所有二次函数问题。

二、二次函数应用题解题的方法

1.模型构建法

在函数应用题中，函数表达式一般不会直接给出，需要学生根据背景信息自行确定数量关系，进而构建函数表达式，借助二次函数的图像、性质进行解题。例如，超市某商品进价为16元/件，销售一段时间后发现按照每件20元的价格出售，月销售量为360件;按照每件25元的价格出售，月销售量则为210件。如果销售量Y与销售价格x满足关系y =kx +b，试问：如何定价能获得最大的收益？由于已经确定函数的形式与两点的坐标，那么很容易求解出y=-30x+960，利润l与售价，的关系满足l=（-30x+960）（x-16），则当x的值为24時，利润最大，为1920元。

2.数量关系法

这类问题会给定现实情境与已知条件，需要学生借助数量关系进行求解。在解决这类问题时，学生首先需要分析题意，明确函数关系式，准确表达问题中隐含的数量关系。例如，服装批发市场某店铺有如下优惠政策：一次性批发不超过20件，按照原价每件160元;如果超过20件，每多一件单价就减少2元。如果一次性的批发总价为4800元，那么一共批发多少件衣服？对于这个问题，如果不超过20件，那么最多需要花费3200元，显然花费4800元是需要批发超过20件服装的。假设超过件数为x，那么总批发量为（x+20）件，批发单价为（160-2x）元，那么批发总价y=（x+20）（160-2x），令y=4800，计算可得x=40或x=20。

3.数形结合法

数形结合就是几何与代数的融合，由于函数本身具有图像属性，因此在解决二次函数问题时可以借助函数图像简化问题，使得原本抽象的求解过程更加直观，这是初中二次函数应用题求解的重要方法。具体来说，二次函数的图像是抛物线，具有一些特殊性质，因此在求解应用题时可以自行构建二次函数模型，借助二次函数的图像进行求解，尤其是解决一些无法单纯通过二次函数性质解决的问题，比如最值不在对称轴位置取到，使得抽象、复杂的二次函数应用题直观化、简单化。

三、二次函数应用题解题建议

第一，培养学生的审题习惯。在课堂练习过程中，教师应经常性地对问题进行解析，按照题干要素收集、问题定位与本质识别、问题关联有效要素的筛选这三个步骤对问题进行提炼，通过这种说题方法不断培养学生科学审题的习惯，帮助学生准确把握核心问题。

第二，及时总结和反思，梳理转化方法的适用情境。即在经过一定量的训练后，教师应当对二次函数应用题解题时使用的三类转化方法进行总结，直接说明所运用的具体数学思想，让学生充分认识也认同数学思想在解题中的价值，从而将相应数学思想拓展应用到其他数学知识的学习和应用中去，在强化学生数学思想应用能力的同时也强化其应用此类思想解决二次函数应用题问题的能力。

四、结语

综上所述，在教学过程中，教师要指导学生准确提取问题背景中的变量及相互关系，从实际问题中抽象出二次函数模型，将给定的条件转换成二次函数相关要素，利用二次函数的性质、图像进行求解，帮助学生更好地解决二次函数应用题，深刻认识函数及函数思想的内涵，为后续的学习奠定良好的基础。

参考文献：

[1]梁勤旺.二次函数应用题的常见题型及解题思路探索[J].中学数学教学参考，2015（Z3）：119-120.

[2]张庭.构造法解二次函数应用题[J].黑龙江教育（中学），2012（Z2）：58-59.