变分不等式问题不动点问题和零点问题的公共元的强收敛定理

贾倩倩，高兴慧

(延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000)

0 引言

f(x,y)+〈Bx,y-x〉≥0,∀y∈C

(1)

(1)的解集记为EP(f,B)。若B=0,则(1)就是找x∈C使得f(x,y)≥0，对任意的y∈C成立，记为问题(2)，(2)称为均衡问题。(2)的解集记为EP(f)。若f=0,则(1)就是找x∈C,使得〈Bx,y-x〉≥0,∀y∈C称为变分不等式，记为问题(3)，(3)的解集记为VI(C,B)。

一般均衡问题(1)解的问题在最优化理论以及经济学中的许多问题中有重要作用。一些学者通过研究问题(2)的求解方法[见文献1-3]，得到一些结果。设计合适的迭代程序逼近变分不等式问题的解集或者非扩张映射不动点问题是目前非泛函分析研究的热点问题[参见文献4-9]，文献[4]在2-一致凸以及一致光滑Banach空间的结构下将此二者结合。受到文献[2-4]的启发，本文将在更一般的一致光滑的严格凸的且具有K-K性质的Banach空间中，通过收缩投影算法得到了一个新的极大单调算子的公共零点集和一个半相对非扩张映像的公共不动点集以及宽松的协和算子的有限个变分不等式问题解集的公共元,并且利用设计的算法证明此公共元的强收敛定理。所得到的结果改进了文献[2-4]，并推广了其他文献的相关结果。

1 预备知识

设X是实的Banach空间,X*称为X的对偶空间。J:X→2X*是正规对偶映射，定义为J(x)={f∈X*:〈x,f〉=‖x‖2=‖f‖2}显然，若X是光滑的Banach空间,则J是单值的，若X是一致光滑的Banach空间，那么J是一致范-范连续。

设C是Hilbert空间，H是C的闭凸非空子集，PC是H到C的度量投影算子，那么PC是非扩张映像，事实上，这个性质在一般Banach空间中并不具有，是Hilbert空间的特有的性质,与之相关，文献 [4]中介绍了Banach空间中的广义投影算子πC，它与度量投影算子PC类似。 定义Lyapunov泛函为

φ(x,y)=‖x‖2-2〈x,Jy〉+‖y‖2,∀x,y∈C

(4)

(‖x‖-‖y‖)2≤φ(x,y)≤(‖x‖+‖y‖)2，∀x,y∈X

(5)

注1[10]设X为自反Banach空间且X是光滑且严格凸的，则对∀x,y∈X,有φ(x,y)=0⟺x=y。

定义1[4]设C为X的凸闭子集,T:C→C是自映像，若F(T)非空，且对∀x∈C,p∈F(T),有φ(p,Tx)≤φ(p,x)，那么称T是半相对非扩张映像。

注2[10]若X是一致光滑Banach的空间⟺X*为一致凸空间，如果X*为一致凸的Banach空间，那么X*具有K-K性质。

注3[11]若X是一致光滑的Banach空间，则在X的任意有界子集上，J是一致范数到范数连续的。

引理1[2]设X为自反Banach空间且X是光滑且严格凸的，T是X到2X*的极大单调算子且T-10非空，那么∀x∈X,y∈T-10,r>0,有

引理2[4]设C为光滑的Banach空间X的非空闭凸子集，x∈X且x0∈C则x0=πCx当且仅当〈x0-y,Jx-Jx0〉≥0,∀y∈C。

引理3[4]设X为自反Banach空间且X是光滑且严格凸的，C为X上的闭凸非空子集，有φ(y,πCx)+φ(πCx,x)≤φ(y,x),∀y∈C，x∈X。

定义V:X×X*→R为V(x,x*)=‖x‖2-2〈x,x*〉+‖x*‖2,∀x∈X,x*∈X*

注意到V(x,x*)=φ(x,J-1x*),∀x∈X,x*∈X*。

引理4[4]设X为自反的光滑的严格凸的Banach空间,X*为X的对偶空间，则V(x,x*)=φ(J-1x*,y*)≤V(x,x*+y*),∀x∈X,x*∈X*。

记NC(v)为C中点v∈C的正规锥，即NC(v)={x*∈X*:〈v-y,x*〉≥0,∀y∈C}。

引理7[3]设X为自反Banach空间且X是光滑且严格凸的，C为X的闭凸非空子集，若T是C到其自身的半相对非扩张映射，那么F(T)是C的闭凸子集 。

引理8[2]设X为自反Banach空间且X是光滑且严格凸的,C是X的凸闭子集f:C×C→R满足上述条件1)～4),r>0对于∀x∈X，存在z∈C，使得

引理9[2]设Banach空间X是一致光滑且严格凸的，C为X的凸闭子集，f:C×C→R满足条件(1)-(4),r>0对于∀x∈X，映像Tr:X→C定义为

则下列结论成立 :

(ⅰ)Tr为单值映射;

(ⅱ)Tr为严格非扩张映射，即对任意x,y∈X有

〈Tr(x)-Tr(y),JTr(x)-JTr(y)〉≤〈Tr(x)-Tr(y),Jx-Jy〉;

(ⅲ)F(Tr)=EP(f);

(ⅳ)EP(f)为闭凸集 。

引理10[2]设X为自反Banach空间且X是光滑且严格凸的，C是X的闭凸子集，f:C×C→R满足条件1)～4),r>0对于∀x∈X,q∈F(Tr),有

φ(q,Tr(x))+φ(Tr(x),x)≤φ(q,x)。

引理11[2]设X为自反Banach空间且X是光滑且严格凸的，若T是X到2X*的极大单调算子，那么T-10是X的凸闭子集 ．

2 主要结果

定理1 设Banach空间X具有K-K性质且是严格凸的和一致光滑的，C为X的闭凸非空子集，设S:C→C为闭的半相对非扩张映射，T:X→2X*是闭的极大单调算子，f:C×C→R满足条件1)～4)，Ai为C到X*上LAi-Lipschitz映射且是宽松(di,ei)-协和算子，其中i∈{1，2，…，N},使得

(6)

证明第一步证∏Fx0(∀x0∈X)有意义。

第二步证Cn(n≥1)是闭凸集。

注意到对z∈Cn有

φ(z,un)≤φ(z,yn)⟺2〈z,Jyn-Jun〉≤‖yn‖2-‖un‖2,

φ(z,yn)≤βnφ(z,xn)+(1-βn)φ(z,wn)⟺2〈z,βnJxn+(1-βn)Jwn-Jyn〉

≤βn‖xn‖2+(1-βn)‖wn‖2-‖yn‖2,

βnφ(z,xn)+(1-βn)φ(z,wn)≤βnφ(z,xn)+(1-βn)φ(z,zn)⟺2〈z,Jzn-Jwn〉≤‖zn‖2-‖wn‖2

βnφ(z,xn)+(1-βn)φ(z,zn)≤φ(z,xn)⟺2〈z,Jxn-Jzn〉≤‖xn‖2-‖zn‖2

易证Cn(n≥1)是闭凸集。

第三步证F⊂Cn(∀n≥1)

根据引理3～5有

由归纳法知

(7)

显然F⊂C1=C,注意到un=Trnyn,∀n≥1,根据引理1推得Trn是半相对非扩张映射，假设对某正整数k，F⊂Ck，则对于任何ω∈F⊂Ck，由引理1及(7)式可得

φ(ω,uk)=φ(ω,Trkyk)≤φ(ω,yk)=φ(ω,J-1(βkJxk+(1-βk)JS(wk)))

=‖ω‖2-2〈ω,βkJxk+(1-βk)JS(wk)〉+‖J-1(βkJxk+(1-βk)JS(wk))‖2

≤‖ω‖2-2〈ω,βkJxk+(1-βk)JS(wk)〉+βk‖xk‖2+(1-βk)‖S(wk)‖2

=βkφ(ω,xk)+(1-βk)φ(ω,S(wk))≤βkφ(ω,xk)+(1-βk)φ(ω,wk)

≤βkφ(ω,xk)+(1-βk)φ(ω,zk)≤φ(ω,xk)

所以ω∈Ck+1,因此F⊂Cn(∀n≥1)。

第四步证xn→q(n→∞)。

由xn=∏Cnx0可得〈xn-u,Jx0-Jxn〉≥0,∀u∈Cn。由F⊂Cn得〈xn-ω,Jx0-Jxn〉≥0,∀ω∈F。由引理3可得，对ω∈F⊂Cn，有

利用Cn的构造可得，对于任何正整数m≥n，有Cm⊂Cn且xm=∏Cmx0∈Cn。从而φ(xm,xn)=φ(xm,∏Cnx0)≤φ(xm,x0)-φ(∏Cnx0,x0)=φ(xm,x0)-φ(xn,x0)。

第五步证q=Sq。

(8)

|‖S(wn)‖-‖q‖|=|‖JS(wn)‖-‖Jq‖|

≤‖JS(wn)-Jq‖→0所以‖S(wn)‖→‖q‖(n→∞)根据

X具有K-K性质得

S(wn)→q(n→∞)

(9)。

|‖wn‖-‖q‖|=|‖Jwn‖-‖Jq‖|≤‖Jwn-q‖→0(n→∞)所以‖wn‖→‖q‖(n→∞)根据X具有K-K性质得

wn→q(n→∞)

(10)

利用S的闭性，可得q=Sq，所以q∈F(S)。

第六步证q∈T-10。

(11)

即

J(zn)+rT(zn)=Jxn,

(12)。

(13)

(14)

注意到

根据(13)和(14)可得

第八步证q=∏Fx0。

由xn=∏Cnx0和引理3得〈xn-z,Jx0-Jxn〉≥0,∀z∈Cn。因为F⊂Cn,于是〈xn-z,Jx0-Jxn〉≥0,∀z∈F。

(15)

在上式中取极限得〈q-z,Jx0-Jq〉≥0,∀z∈F。根据引理3知q=∏Fx0，因此xn强收敛到∏Fx0证毕。

注：定理1改进和推广了文献[4]中的定理3.1中的以下方面：

1)空间的改变：由2-一致凸和一致光滑的Banach空间推广到严格凸和一致光滑且具有K-K性质的Banach空间；

2)增加条件：本文的定理1以文献[4]定理3.1为基础，增加了一个零点问题；

3 应用

定理1可以找到一个均衡问题的解，古典的均衡问题是：寻找p∈C满足

f(p,y)≥0,∀y∈C

(16)

EP(f)代表问题(16)的解集，T是C到X*的映像f(x,y)=〈Tx,y-x〉,∀x,y∈C

那么p∈EP(f)当且仅当〈Tp,y-p〉≥0,∀y∈C。(详见文献[2])