正确理解弹性势能的概念

摘 要：分析了经典弹性势能概念的局限性，重新定义了弹性势能，并且推广给出了势能的一般概念。

关键词：轻质弹簧;弹性势能;势能;质量

中图分类号：O313.1 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2020）08-0237-02

1问题的提出

现在一般力学教材给出弹性势能的定义为——发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能（elastic potential energy）。在工程中又称“弹性变形能”。例如被压缩的气体、拉弯了的弓、卷紧了的发条、拉长或压缩了的弹簧都具有弹性势能。同一弹性物体在一定范围内形变越大，具有的弹性势能就越多，反之，则越小。弹性势能是存储在材料或物理系统的构造中的潜在机械能，因为执行工作以扭曲其体积或形状。当需要压缩和拉伸或大体上以任何方式变形时，弹性能量就会发生。弹性理论主要发展为固体和材料力学的形式（注意，拉伸橡皮筋所做的工作不是弹性势能的一个例子，它是熵弹性的一个例子）弹性势能方程用于机械平衡位置的计算。在数学上，方程可以表示为：，这个定义其实是不完善的，下面首先以弹簧的弹性势能为例说明一下这个问题，上述概念只谈到了弹簧的弹性势能，没有涉及弹簧的动能，不少人理解为忽略弹簧的动能，只研究其势能。可是这样会造成矛盾，例如在地面系把一个弹簧压缩后放入真空中，它的势能不断变化，如果不考虑弹簧的动能，显然不满足能量守恒定律。根据爱因斯坦质能方程E=mc2，能量一定与质量成正比，无法体现。

2问题的解决

从上面的分析可以看出只具有弹性势能而不具有动能的弹簧是不存在的，弹弓和弯曲的树枝等发生弹性形变的物体具有势能，在变化的过程中也具有动能，实践中可以忽略动能，是近似处理。轻质弹簧在忽略弹簧质量的同时也忽略了弹簧的势能和动能，现在部分中学教材甚至高考中研究轻质弹簧的弹性势能，这是不准确的，严格讲应该表述为与轻质弹簧接触质点的弹性势能，例如在弹簧振子中，如果这样表达弹性势能，就可以看出弹性势能属于质点，而不是属于弹簧。这样可以发现势能与质量成正比，符合质能方程的要求。在大中学阶段可以只研究质点的弹性势能，作为专家可以研究弹簧的弹性势能。当考虑弹簧质量时，可以宏观考虑为若干个受弹力作用的质点，必须研究弹簧的动能了，也可以把弹簧的质量合并到质点中去，必须考虑弹簧的质量是否均匀等因素，不是简单相加，见图1。

我们可以把牛顿第二定律和欧姆定律进行类比，合外力相当于电压，质量相当于电阻，加速度相当于电流。导线抽去电阻、电感等属性后用电器的电压等于导线两端的电压一样。类似于不考虑电阻、电感等属性的导线不能承担电压和消耗能量一样，轻质弹簧不能单独承受力[1]，也不能储存能量[2]，千万不要认为弹簧振子中弹簧具有势能，忽略动能。这样动能定理就不成立了，外力做功了，动能却没有变化。有人认为弹簧振子中弹簧具有微弱的质量，忽略质量，这显然是错误的。这就像我们忽略摩擦，再考虑微弱摩擦力一样的荒唐。没有质量和具有势能二者不可兼容，理论上不存在运动过程中只具有势能不具有动能的物体，实验中的弹簧是忽略动能（近似处理）。有人认为理想的弹簧只具有势能不具有动能，是一个弹性体，但是这个假设违背物理学的基本原理，例如文献[3]构造了一种只具有势能而不具有动能的弹簧，是荒谬至极的。弹簧振子不是质点+实物弹簧，而是质点受到线性回复力，在水平面上受稳定约束的弹簧振子运动模型，实质上是一个与距离r成正比有心力作用下质点的运动问题[4]。在弹簧振子问题中，是一个完整、理想、双侧束的质点，约束力不改变质点的机械能;考虑弹簧质量，是具有完整、理想、双侧束的质点系，约束力也不改变系统的机械能。

赵凯华认为：研究一个规律的表述所具有的对称性，并设法消除某种不对称因素，从而使其规律的表述具有更多的对称性，这无疑是有重要意义的。因为它不仅满足人类对于美（对称，和谐）的心理追求，而且更重要的是使表述的规律具有更大的普遍性。由于质点受到万有引力而具有的势能叫引力势能，由于质点受到重力而具有的势能叫重力势能，而把弹性势能定义为由于弹性形变具有的势能不具有和谐性，因为弹簧振子中质点具有弹性势能而没有形变。如果把弹性势能定义为由于质点受到保守彈力作用（并非所有弹力都是保守力，例如非弹性碰撞中的弹力，严格讲弹力都不是保守力，当只考虑弹力的大小和方向，而忽略形变的影响时才是保守力，例如斜面的支持力。）而具有的势能叫做弹性势能就比较完整了，不但包括弹簧振子中的弹性势能[5]，也包括具有质量的弹簧、弹弓、弓箭等弹性势能，甚至包括光滑斜面上的滑块受到的弹力——支持力等具有的弹性势能[6]和单摆的摆锤受到摆线的约束力具有的势能等。质点只要受到弹力作用就具有弹性势能，不一定发生弹性形变，例如小滑块在光滑斜面上下滑，斜面的形变为0，质点依然具有弹性势能[6]。有人说没有形变哪来的弹力，确实这样，一个物体放在水平地面上受到支持力是弹力，但是我们不必考虑形变，力学中不必考虑力的性质的来源，重力来源于万有引力，摩擦力还来自于电磁力呢？我们计算摩擦力时从来不考虑电磁力的问题，研究质点的重力时也不考虑万有引力。

由于质点受到保守弹力作用（并非所有弹力都是保守力，例如非弹性碰撞中的弹力）而具有的势能叫做弹性势能，由于质点受到万有引力而具有的势能叫引力势能，由于质点受到重力而具有的势能叫重力势能，由于质点受到浮力而具有的势能叫浮力势能[7-17]，由于质点受到支持力而具有的势能叫支持力势能，由于质点受到约束力而具有的势能叫约束力势能、、、、、、，可以给出势能的一般定义——由于质点受到有势力而具有的能量叫做势能，势能的定义式为dEp=（-f）·dr（与等价），当有势力不显含时间（即为保守力）时，势能也可以称为位能，（笔者注：类似地可以定义由于电荷受到电场力而具有的势能叫做电势能，从势能的定义式可以看出单质点的势能是坐标的函数，不具有伽利略变换的不变性），这样更具有对称性与和谐性。本文把势能和位能区别开来，位能是势能的一种情形，对于保守力二者是一致的，对于显含时间的力是有区别的，此时只有势能没有位能。经典力学教材把二者等同起来，认为只有保守力才存在势能，可是有关文献又指出当势能不显含时间时力是保守力，二者之间存在矛盾，按照本文的观点矛盾自然解决。根据dEp=（-f）·dr（与等价）可以得出只要力场是空间坐标的函数，此力一定是保守力，耗散力和显含时间的力不是空间坐标的函数，是非保守力。

根据dEp=（-f）·dr可以得出力场不显含时间，势能一定不显含时间，这里没有时间变量t，文献[18]的观点是完全错误的，只要质点受到保守力就具有势能，具体数值与势能零点的选择有关，只要势能零点相对于观察者不变即可，文献[18]错误的根源在于势能零点的选取错误。机械能守恒定律是时间均匀性的体现，显含时间的力场能量不守恒。仅仅适用于弹簧振子中质点的弹性势能，而且不适用于所有的惯性系[5]，不适用于弹簧的弹性势能。赵凯华、罗蔚茵在其《新概念物理教程——力学》一书中说：“追求某种东西守恒是产生科学思想不可少的条件，科学家们常有寻找守恒的强烈愿望，与运动相联系的守恒量长久以来就是物理学家寻找的目标，从守恒的观点来看，势能的概念是不能没有的[19]。”英国著名物理学家狄拉克在被问及：是怎样得到那著名的相对论量子方程时，回答得很干脆，“我发现它美！”这种科学美也与对称性密切相关， 爱因斯坦将之发挥到了极致。在他以前，科学家是从定律中发现对称性，爱因斯坦反其道而行之──从对称性中发现定律。他的广义相对论就是一个范例：从引力与加速度等效原理出发，凭协变对称性就能写出引力方程。这种从对称性中找定律的方法被沿用至今，在物理学的前沿探索中发挥着越来越大的作用。所以科学家不只是求真，也在寻美[20]，爱因斯坦曾经讲过：“相信世界在本质上是有秩序的和可认识的这一信念，是一切科学的基础。我永远不会说我真正懂得了自然规律的简单性所包含的意思。”

现在不少力学教材在表述力的作用效果时一方面指出“力是改变物体运动状态的原因”，另一方面指出“力是物体产生形变的原因”，一些初学者往往认为力的作用效果有两种，其实二者本身是一致的，“力是改变物体运动状态的原因”此时物体看做质点。“力是物体产生形变的原因”此时物体不能看做质点，组成物体的各个质点的运动状态也发生了改变，物体产生形变只是一个宏观效果，所以可以统一表达为“力是改变质点运动状态的原因”，牛顿就说过，自然界喜欢简单化，而不喜欢用什么多余的原因以夸耀自己。追求简单性是经典科学奋斗的目标，也是推动它获取成功的动力。开普勒以三条简明的定律揭示了看似复杂的太阳系行星运动，牛顿更是用单一的万有引力说明了千变万化的天体行为。因而现代科学是用简单性解释复杂性，这就隐去了自然界的丰富多样性，普朗克曾经讲过：“在科学史上，一个新概念从来都不会是一开头就以其完整的最后形式出现，象古希腊神话中雅典娜一下子从宙斯的头里跳出来那样。”

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