考题万变，本质不变

钱继兵

【摘 要】 在高中教学中，“高考考什么、怎么考”直接决定教师在复习中“教什么、怎么教”。为此，笔者对近几年江苏高考平面向量试题进行了解读和分析，探究常见的高考题型，并以此开展有效的课堂复习。

【关键词】 高中试卷;平面向量试题;题型分析

为了更好地应对2020年高考，笔者对近几年江苏高考试卷中的平面向量试题进行了分析，总结出几种常见的题型，了解平面向量高考试题的命题方向，并以此制订有效的复习策略，以期为新一届高三学生的数学复习提供指导。

一、常见的平面向量高考题型

题型一：平面向量的基本概念

例1（江苏卷·6）：已知向量a=（2，1），b=（1，-2），若ma+

nb=（9，-8），m，n∈R，则m-n的值为_。

【评注】平面向量的基本概念主要包括加减运算、坐标运算、定理运算等，这些都是基本运算，属于基本考点，较为简单。

题型二：平面向量的数量积

例2（江苏卷·13）：如图1，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上两个三等分点，已知=4，=-1，则的值是_。

【评注】在江苏高考试卷中，关于平面向量数量积的题型有很多，在解决该试题时，常用的方法主要有坐标法、定义法、基底法这三种。如果使用定义法，那么必须要确定两个向量的模及其夹角，但是由于在解题中使用该方法经常出现各种各样的困难，所以通常选择坐标法和基底法解决该类型的试题。

题型三：平面向量的几何背景

例3（江苏卷·18）：如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2-12x+60=0及其上一点A（2，4）。

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的坐标方程;

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=OA，求直線l的方程;

（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得=，求实数t的取值范围。

【评注】在高考数学试卷中，该类型的平面向量题也很常见。在解决该试题时，可以将平面向量直接坐标化，之后再转化为方程完成解答;还可以将平面向量几何化，对其几何背景进行有效分析。相比较这两种解法，后者更简单。

二、平面向量的复习策略

1.回归教材，夯实基础

第一，教师要引导学生对单位向量、相反向量、平行向量等平面向量知识点的本质与概念定理有准确的理解和掌握。

第二，引导学生深层次理解平面向量公式与运算法则，并对其有充分掌握。

第三，在复习过程中对平面向量试题的解答方法和规律进行总结，并引导学生有效运用解答方法完成试题的解答。

2.提炼总结，提升运用平面向量知识解决问题的能力

在数学学习与问题解答中，指路明灯就是数学思想。数学思想包括数学知识从发生到发展再到应用的整个过程，其也是数学核心素养的有效体现。学生是否具有良好的数学思想，直接影响其对高考数学试题的解答成效。因此，数学教师在具体复习中要加强对知识的总结和提炼，不断提高学生的数学思维能力。其中一个重要的思想就是基底思想，任何两个非零向量a和b都可以组成一组基底，其实就是对一个坐标系的构建，任何一个向量c都可以表示成c=λa+μb，而向量c在基底a，b上的坐标就是（λ，μ），这就在极大程度上丰富了平面向量问题的解决方法。因此，在平面向量复习中，教师要加强对学生数学思维的培养，使学生形成良好的运用平面向量解决实际问题的思想。

3.加强能力训练，注重反思

在高考数学试题命题中，一个重要因素就是“选拔性”，这也表明高考数学试题重点考查学生的数学能力。那么，学生的数学能力要如何提高？这就需要教师在复习中加强对学生数学能力的训练，同时还要引导学生在复习中不断反思自己。弗赖登塔尔曾经说过，“数学思维活动的核心动力就是反思”，也就是说，反思推动着数学思想的发展。数学教师在复习中经常会遇到这种问题：这种类型的试题明明已经讲了很多遍，但是学生就是不会做。之所以出现这种问题，主要是因为学生在学习中缺乏自我反思和感悟。学生数学能力就是在问题的不断分析和转化中形成的，并在反思、感悟、内化、运用中实现提高。

4.跳出题海，培养素养

在高考数学复习中，完成一定数量的习题训练是必须的，但是很多教师由此陷入了“题海训练”中，让学生盲目地完成大量的练习题。这种复习方式是错误的、不可取的，教师在试题训练中要注意“一题多变”“一题多解”的训练，走出“题海战术”，通过对试题的变式训练提高学生的数学抽象思维与运算能力，实现对数学学科核心素养的培养。

综上所述，在高考复习中，教师要掌握知识点的考题类型，并对其进行深入分析，在掌握试题考查方向、命题意义的基础上开展复习教学，有效提高复习质量。

【参考文献】

[1]郑兴明，向建，程登银等.高考数学基础考查探究与真题强化练习—专题8平面向量基础知识[J].数学教学通讯：高考数学，2007（04）：30-34.

[2]陆金香.由高考复习发现的问题反思平面向量的教学[J].数字化用户，2014（17）：184-185.